Google
This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scannod by Google as part of a project
to make the world's books discoverablc onlinc.
It has survived long enough for the copyright to cxpirc and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.
Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the
publisher to a library and fmally to you.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to
prevent abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying.
We also ask that you:
+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for
personal, non-commercial purposes.
+ Refrainfivm automated querying Do nol send aulomated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine
translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for these purposes and may be able to help.
+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each file is essential for informingpeopleabout this project and helping them find
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countiies. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any specific use of
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi of this book on the web
at |http: //books. google .com/l
Google
Dit is ccn digitale kopie van een boek dat al generaties lang op bibliothcckpl anken heeft gestaan, maar nu zorgvuldig is gescand door Google. Dat
doen we omdat we alle boeken ter wereld online beschikbaar willen maken.
Dit boek is na oud dat het auteursrecht erop is verlopen, zodat het boek nu deel uitmaakt van het publieke domein. Een boek dat tot het publieke
domein behoort, is een boek dat nooit onder het auteursrecht is gevallen, of waarvan de wettelijke auteursrecht termijn is verlopen. Het kan per land
verschillen of een boek tot het publieke domein behoort. Boeken in het publieke domein zijn een stem uit het verleden. Ze vormen een bron van
geschiedenis, cultuur en kennis die anders moeilijk te verkrijgen zou zijn.
Aantekeningen, opmerkingen en andere kanttekeningen die in het origineel stonden, worden weergegeven in dit bestand, als herinnering aan de
lange reis die het boek heeft gemaakt van uitgever naar bibliotheek, en uiteindelijk naar u.
Richtlijnen voor gebruik
Google werkt samen met bibliotheken om materiaal uit het publieke domein te digitaliseren, zodat het voor iedereen beschikbaar wordt. Boeken
uit het publieke domein behoren toe aan het publiek; wij bewaren ze alleen. Dit is echter een kostbaar proces. Om deze dienst te kunnen blijven
leveren, hebben we maatregelen genomen om misbruik door commerciële partijen te voorkomen, zoals het plaatsen van technische beperkingen op
automaüsch zoeken.
Verder vragen we u het volgende:
+ Gebruik de bestanden alleen voor niet-commerciële doeleinden We hebben Zoeken naar boeken met Google ontworpen voor gebruik door
individuen. We vragen u deze bestanden alleen te gebruiken voor persoonlijke en niet -commerciële doeleinden.
+ Voer geen geautomatiseerde zoekopdrachten uit Stuur geen geautomatiseerde zoekopdrachten naar het systeem van Google. Als u onderzoek
doet naar computervertalingen, optische tekenherkenning of andere wetenschapsgebieden waarbij u toegang nodig heeft tot grote hoeveelhe-
den tekst, kunt u contact met ons opnemen. We raden u aan hiervoor materiaal uit het publieke domein te gebruiken, en kunnen u misschien
hiermee van dienst zijn.
+ Laat de eigendomsverklaring staan Het "watermerk" van Google dat u onder aan elk bestand ziet, dient om mensen informatie over het
project te geven, en ze te helpen extra materiaal te vinden met Zoeken naar boeken met Google. Verwijder dit watermerk niet.
+ Houd u aan de wet Wat u ook doet, houd er rekening mee dat u er zelf verantwoordelijk voor bent dat alles wat u doet legaal is. U kunt er
niet van uitgaan dat wanneer een werk beschikbaar lijkt te zijn voor het publieke domein in de Verenigde Staten, het ook publiek domein is
voor gebniikers in andere landen. Of er nog auteursrecht op een boek mst, verschilt per land. We kunnen u niet vertellen wat u in uw geval
met een bepaald boek mag doen. Neem niet zomaar aan dat u een boek overal ter wereld op allerlei manieren kunt gebruiken, wanneer het
eenmaal in Zoeken naar boeken met Google staat. De wettelijke aansprakelijkheid voor auteursrechten is behoorlijk streng.
Informatie over Zoeken naar boeken met Google
Het doel van Google is om alle informaüe wereldwijd toegankelijk en bruikbaar te maken. Zoeken naar boeken met Google helpt lezers boeken uit
allerlei landen te ontdekken, en helpt auteurs en ui tgevers om een nieuw leespubliek te bereiken. U kunt de volledige tekst van dit boek doorzoeken
op het web via |http: //books .google .coml
Iög*^fj Mög*i^j M'-C*^^)
IoS-h'^I llogfi'l) M°B**'l} f {°É*^'i) M°§**'1
QKAO. »■ ^- ^
1
VOOR
EEHGSZIISrS &EYOE])EBJ)E]!r 01 OUSEfiE LEERLUÏ&Eir,
VERZAMELD DOOR
J. VERSLUYS.
EERSTE STUKJE.
AMSTERDAM. — 1886. — W. VERSLUYS.
VOORBERICHT.
Van de volgende vraagstukken zijn vele ontleend aan deel III
mijner algebra, aan tijdschriften en aan buitenlandsche leerboeken,
In dit geval hek ik meestal oudere werken gencymen, Eenige blad»
jK^d^ zijn geheel ontleend a/m werken van den laatsten tijd»
Een deel der hier voorkomende vraagstukken zal worden opgelost
in een afzonderlijk werkje over het oplossen van algebraïsche vraag-
stukken.
Jan. 1886.
-^ <
■J
1;
I.
n
^^
HET TOOESTEILM VAÏÏ ÖETALIEÏÏ DOOE LETTEBS.
1. Bepaal de waarde van — — — —^ — ^als4? = 4^itf = 4-,
^ ^ x^ + ax -^ a^ ^ ^
' 2. Bepaal de waarde van — — ^ + — ~ « alsrf?=4eny==#.
3. Van twee vazen is de eerste geheel gevuld met a liter
w water en de tweede geheel gevuld met b liter wgn. Door
/^ middel van twee evengroote maten neemt men uit elke
vaas c liter en men giet wat uit de eerste vaas is genomen
in de tweede en wat uit de tweede vaas is genomen iu
de eerste. Diezelfde verrichting wordt driemaal herhaald.
Hoeveel water en hoeveel wgn is er daarna in iedere vaas ?
4. Twee boden M en N doorloopen een rechte lijn SB
De eerste begint te bewegen van een punt A, dat «meter
van S is verwijderd, en de tweede van een punt B, dat b
meter van S is verwijderd. Zij bewegen zich beide in de
richting van S naar B, de eerste met een snelheid van
u meter in de minuut en de tweede met een snelheid van
V meter in de minuut. Bepaal hoe groot na t minuten de
afstand der boden zal zijn en hoever zij dan verwijderd
zgn van het midden van AB.
5. Twee fabrieken van waskaarsen worden opgericht. De eerste
wordt n dagen na de tweede geopend en gebruikt a ar-
beiders, die 11 uren per dag werken, terwijl de tweede a
arbeiders in het werk heeft, die u uren per dag arbeiden.
In hoeveel dagen na de opening der eerste fabriek zullen
de twee fabrieken evenveel kaarsen vervaardigd hebben ?
Samentelling.
1. Tel samen + f' «, — ^b, — fa, ^c en — ^.
2. Herleid +6a — |5c — 0,3^ — 1,2a — be + 4^ + ac^ — 4,7a
— 0,4aca — 3,7^.
8. Schrijf zoo eenvoudig mogelijk
+ 3a^ _ 5è2 — 4| + 8*2 — 7a'b — 2a% _ 7 + 4*» + 8,75.
4. + 4ad + 2c
— 12^è -h 12c — 4rf
— 31a^— 16.(? + 5^ — ^ .
5. -V^ — ^ — ^o^-^d
+ l|ó + |c — -1^
— i« + f* — tV
— fé + ic.
6. '6ax + 3^>j- — 12a6;r — 20;ry + 18ay — %z
hax — 4obx — Qabx + 12^y + \Oatf — 40
'&ax + Qbx 4- Qabx -r 8;r^ — 8ay + 5;^.
7. 40a'^ — 80ad + 40^»'^ — 12^2^^ + ^^ _ 15
12^2 + 50aè — 20^»'-^ — 8a2è2 — nx -^ 24
— 2ba^ + 2bab— [2b^ + IGa^b^ -{- 2mx— 8
— 18^2— bab + 6b'' + 6a%^ + Snx~ 1.
8. max'^ — naP + 8a'^^'^ — 12a^^^^ — AOx'y"
— nax^ + maP — 6a^x^ + Sax"^ + 24x'''f\
9. o^ — 5^ + paJ^b"" + ivix^y + nx'^y'^ — 12 xyH'^
naJ^ + 2b'' — qaH'' + 2mx^y — mx'^y'^ + \^xy'^,
10. Bepaal de waarde van de som der volgende twee veel
termen voor m = 4, w. = 3 en ^ = a
(m + 7i)a^ — w.a" "" ^^ + na^ ~~ '^x^ — (m — n)ax'' + mx^
(3w^ — n)a^ + ma^ ~^x — 2ma''~ ^x^ — [2n — '&m)ax^ — mx^.
Aftkekking.
1. 8x + (5^ — 8a) -\- {8a — -ftr) — 6^ =
2. 7a^{8a — 2)-^{9 — 2a) — 10 =
3. (9^-7y)+i2^ + 3y)-(5x — 8y) =
4. {l2x — 7^) — [a — {^ — 2y)'] =
5. 3<?+7 + [{4ó — 2c) + (2c + 8)] =
6. 8m — b^-\- [(2y — 7»«) + {3m — y)] =
7. {2^-3y) + {2y-j-) + [5;r + (6y-l)] =
8. 7;r — [(3a — 4j-) — (5t— 1)] — (x — 2fl + 2) =
9. (5fl 4- 2i — 3<j) — (2a — 3* + 5(?) — (a — 2b — 4o) =
5. /^ — l{oa — ^JT) — [TJX — i;j — \f — £ia -r £>)==
). {ba + 2b — S€) — {2a — 3* + bc) — (a — 2b — 4o) =
). ix^{m + n)-] + lr — {m-\-p)'] + [j' — {n+p)'] =
[, {a+b + cf^{a-\-b — c)-\-{a — b-^c) + {b + c — a) =
5. 7a — {Sc — &b) — (6a — Sc) — 3* + (3a — &?) =
j. (7^ _ 5^) _ [(4« _ ar)-=^ 4»f +^)] — (2/» — 3» + 4jr) =
14. (a + 2i — 3) + [(2a — &) — (5* — 4) — (a — i)]
— {(4a -h 3i) — [(7a — 2b) — (a — 3)]} =
15. 20 — 3^ + 4.i-2 — 5jr» — (1 — 2.r+j-«) — (3 — 2jr — 4jr«) =
16. Trek (a — b)jt' + (c — d)^ af van (a + i);r + (<? + d)y.
17. a — 2i — (3a — 5*) — (— 2a+76 — c) =
18. 3a — 4d + 2(? — (a — 3* + 2c) — (— a + 2* — bc) =
19. 3 — 5jr + 7dr2 — 9j.8 _ (1 ^ 2j- + x«) — (2 — 7jr + lOur»
— 8.r») =
20. 4?« — 3j^* — 7j-« + 5j^2 + 3^_8
_ [SX^ _ 3^2 _ 13 _ (;2;5 _ 3;p8 + 7;r — 8)] =
Voer de volgende aftrekkingen uit, zonder de haakjes te
ve^;drgven.
21. {b^-b)x^ — 7cx+ 4j-«+12i'
• 2bx* — 8x^ -\ - {S — 4c) x^-\-^x,
22. x^ + 3(a — %2 + 3(a2 — 2aó + b^)x + a» — 3a26 + 3aSa — b
x^ — 3(a + b)x^ + 3(a^ + 2a^» + S^-^ — «"j"^^^ 3 a68 — &«.
23. (7a + 2*)rf' + (3a — 2% — 4:az
(5a — 36);r+ 4aj^ — (4a — 2% i
6 .
24. Verminder de som der veeltermen
29x — 18y _ 3a f 2è — 5
— 14ar + 22y — 6fl^ — 5i + 8c + 15
— 9;p + 7y -f- 12a — 8è — 5<? + 3
-f- 12ar _ 3^ — 5a -h 2U + 17c -* 9
met de som der volgende veeltermen
3a + 8d + 7c — 5
— 5ó + 8c + 7
2y — öa+Sb — 2c — 6
3a. — 5^ — 8a + 6i —• 9c ^ 8
zonder meer dan één optdUing van veeltermen te ver*
richten.
25. Waaraan wordt (B -^ E) — (A — F) + (D -^C) gelgk, ab
men stelt
A = 2a — (3* — 2)
B = 3a — (2i — 1)
C = l — 2a
D = 2 — 3è
K = 3 — 2a en F = ^ — b.
Vermenigvuldiging»
Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen
1. (rf; + 3)(;p-h5) + (^-h5)(ar + 4).
2. (;r — 5)(;r + 3) + (d: — 4)(;r — 2).
3. 4(;r + 3) (;r — 3) + 7(;r — 5) (.r + 3).
4. u;{x+\)(w + 2) + 4iP — 1) (;r — 2).
5. ai^e — 2) (;r + 1) — ;r(;r — 5) (;r — 3).
6. ar(a? + 3) (;p — 5) — ^w — 3) (;r + 5).
7. 2a« — i(3a — b) — {a^ — b{ia + b)\ -f- {2d« — a{a — é)[.
8. 2a« — 6(3a + *) — {a« — i(4a — 6)} + {2ó« - a{a + b)}.
9. J{;p(;r + 1) (^ + 2) -f x{x — 1) (^ — 2)} + Mx' — 1).
Verdrgf de Haakjes en vereenig vervolgens de gelijk-
soortige termen in de volgende uitdrukkingen.
10. Sa^ix + y) -f- ^y{x ~ r).
12. 2{%+y)-h%-J^)}.
13.- {a-{-bY + {a — by.
14. {a + by~{a-^b)K
15. 3{i + i(« T-^ *)}.
16. 6{ar -. i(;» -^ 1)}.
17. «tf(car -1» ^) -^ (órf — i«)cur.
18. 4« — 3|« — 2(«-^l)},
19. Breng binnen haakjes de eoëffieienten ran machte van
3f, y en z\^ de relgntdie mtdiolddi^eii.
x^ — T'x^ + 9x'^ — tx^ + rtx — rsx — stx + rêé.
x^ — 2ax + «« + d?« — 2*;r + *« + ;r« •^2cx + cK
x^ — 2ax-^a^ — x* + 2bx — i« + ;r« — 2ex + cK
m^x^ + 2mx + 1 — n^x^ -^ 2«a? — 1.
20. Wat is de coëfficiënt van x^ m
(2x^ -{- x^ — X -{- 1)(;f» — ^-hl)
21. Bereken (+ «* — 2») (è + <?*) voor a at» 3, é =« ^ en (? = 4.
22. Bereken (+ a){+b — aby + ~ voor a = 3, i = 2, » = 5,
m = 3 en ;r 3s 1.
23. (3a-^5A4-7c)(2« + 3i — 2rf)=*=
24. (3 — 2;ir + ar*)(l+;r — 2;r«)=»
25. (4 + 3;r — 2;r3 + a?» — 5d?*) (2 — a? — 3;r8) =
26. \\+x—x^ — x^) {\—x + x^ — x^ + x^) =
27. (4 — 4;F + a'«)(8— ia^ + 6dr« — ;p») =
28. 124i(12fl — V«è + |è^|^)-h^(l4a*— 15«)] =«
29. 2i{«» + a) — 2(i^ — «) + 8(» — i»)-^4(|« — «)*p
30. (^« + 2d?— l)(2d?« — aïr+l)(;p — 3)=«
31. (2ar« — ar^ — . ;py« + 4^ «) (ar* — 4;iy + 3y«) =
32. (a + i + c) (fl -f- * — c) (a + e — *) (i + c -^ a) =
33. (3fl — 4«» + 3» — %x) (2^ — 3» + ^r) (2«ï — « — o-)
X (a + w + ^) =
34. (a? — 1) (;r — 2) (a? + 1) (iP + 2) (;r + 3) {2x — 1) =
35. (a?» — 3;p«-y +*5rfr«-y'^-- 7;p»-*y*' + 9;p«-y^)
(iP«+8 — 2;p'» + y ""»* + 4d?» + y""^'" — Öa?'*^*"'*") =
36. («»«;* + 3a«i7i<> + «^ — 7fl*t?« — hv^^ — haH^ — a«t>* — 7ap»«)
(«8 — 2?;« + Sav* — 3aH^«) =
8
37. Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen, zonder de haakjes
te verdrijven.
w^-\-{a-\- b)x -\-ah + x'^ + (a -^ b)x — ab. , ^ . •
;ra -f (a — b)x — ab — x^ -\- {a + b)x — ab.
(a + h)x^ — ay2 + {b — h)x^ + 3öy«.
38. Bewijs, dat een veelterm wordt vermenigvuldigd met het
produkt van twee andere veeltermen, als men hem met
""" een van die twee vermenigvuldigt en het komende produkt
met den anderen veelterm.
39. Schrijf de uitkomsten der volgende vermenigvuldigingen
rechtstreeks op.
{x + %a) [x -^ 3flt).
{x + 7y) {x — ly),
(a -f .35) (a + 3è).
\a — 9S) (a — 8è).
{2x — h){x — 2).
(3d'— l)(x+l).
(3;r + 7) (2^ — 3).
(3^ + 8) (3^ — 8).
(3^ — 2y) (3a? + y).
{2x^lt/){2x-h2f).
{2x — 5fl) [x + ha).
(^ + 4y) {x - 2y).
{X - 3y) (^ ^ 3j.).
(a— 5/^) (a + lOè).
(2^ — 5) {x + 2).
(2a/ + 3)(a; — 3).
(2^+5)(2^T-l).
{Ax — 3) (2^ + 3).
(2^— '5)(2;r — 5).
{^x-^2y)[^x + 2y).
{hx -f ^\{hx — 3<ï).
(2;?? 4- ö^) (2;r + a).
40.
41.
42.
43.
Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen:
4(13« + 12J)a -- 1 1S«] -- 10*« } ^\ab.
mn[n\26n^ — 21m^) + ^*{16»2 _ ii^^2)-] | 4^^8^8^
i"(i-i)+^'('-^^)i I
4
44. 7 {3a;»(33;» — 2y») — ixy{2a!* + y*) + t/''(7ar* + 5«V
45. X {yzmx^ + y^(4fa; + 5%^^)] } QixyH\
46. y { xy\jy^(jf - \%x) + x\2^ — 3^;»-)] | ^'^".J'''-
2
9
47. Verricht de volgende samentelling
— 5(« + a^y + 7{a -f ;r)2 + 4 {a -\- j^), . «" ^
lOJa + >g)^ — 9(^ + >^)' + 3 ( g + ^).
48. Schrgf de produkten van de volgende twee veeltenaen,
die telkens in een rij staan, rechtstreeks op. c^
a — h -{- c -^ dytt — h — c-\-d. , . 's
iC^ + x—y^+yyX^-\rX +. y 2 — ^.
x^ ^ ax -\-a'^yX'^ — ax + a^,
a-\-2b-\-Sc,a+2b — Sc.
'a-\-2b-\- 3c, a •— 2* + 3c. '
a + 2b + Sc,a'-2b—Se.
a — 2b + 3c,a — 2b~Sc. - -
a — 2b +Sc,a-\-2b — 3c.
4a + 3é + 2c + d, 4a + Hb—2c — d. . i
4« + 3* -h 2c + ^, 4a — 3è + 2c — ^.
49. Schrijf de volgende vormen als veeltermen, die gerangi^.
schikt zijn naar de opklimmende machten van x.
ax^ + bx^ -^ a^x* — 2bx^ -^'i\x'' — bx\
Ix^ — Sc^x — abx^ ~\- hax + Ix^ — abcx'^.
. ^ ax^^ + a^x^ r • bx^ — hx^ — cx^.
Sb^x^ — bx — ax.\ — cx^ -^ hc^x — lx*.
50. Vermenigvuldig ; ^
{bb + 6c) a + 4bc — d^ met (5è ^ 6c) a + 4ba + d^. •
51. Kan het verschil vs^ 2 ongelijkslachtige veeltermen ge*
lijkslachtig zijn.
52. Bewijs de volgende twee gelijkheden:
2 (a«V ab + by + 8a%l(a + by {a^ + ab + b^) = a^-\-b^
+ {a + è)8, en {a^ + 7a?è8 + ^6)2== («* + 2a^>3)3 + (J* + 2a«*)'
+ (3^«*«)3, . . V
53. Bewijs dat het gedurig prodükt van drie gelijkslachtig^
veeltermen ook gelgkslachtig is.
54. Bepaal de 4 .termen van den hoogsten graad van het
gedurig produkt der vormen - ,
. 7 + 3^ _ 4;ï,2 _ 5^3 _|. 3^4 _ 2^5/ ;. -
S^2x^4x^-- O^r' — ^xl' en 1 + 3.7?. r
10
55. Bepaal de hoogste 5 termen van het produkt
(1 — x^ — w* — o?* — it^)^ (l + a? + 2;r3 + 4ar« + x"^).
56. Bepaal den vierden, zevenden en negenden term van het
produkt
{u'^ + u^ + u^ + u* + u^ +7i^ + u+l) {u'^ — u^ + u^ — u^
+ «« — »*).
57. Bepaal de laatste 4 termen van het produkt
{2a^iv^ — ba^x* + &w« — Srf?»)» («» — Sa^x^ + 3ax* — x^)K
58. Bepaal den achtsten, n^^iden ea tienden term van
{S — 2x — 5d?« + 7x* -^ ar* + 4x^)K
59. Vermenigvuldig den veefterm
(a« —2ab + i>« + (2«' — 4i>« + (—«♦_ aaè» + i*);p
+ 3«8è« — 2aJ* met {a — *>« + («« — ai — i«)a? — «» + i»
60. Bepaal de tweedemacht van
3a?* — 4eMf» — ha^x^ + 2a^x — a*
61. Waarom bevat de tweedemacht van een veelterm minstens
vier termen?
68*. Bewi}s dat men heeft
{a* + b^ + c^^d^) [p^ + q^J^ r»+ ««) = [op -^^ bq + er + dsY
+ («y — bp + CS — d/ry
+ {ar — <^ + dq — hsY
+ [as — dj^+br — cqY
63. Welke eigenschap ligt in deze formule opgesloten ten
aanzien van het produkt voor twee sommen ieder van
vier tweedemachten ?
W. Als men stelt a + i + (?-f-öf = A
a + b — c — rf = B
a — h-^- e — J = C
« — J — e -^-d^jy
en men heeft ah{a^ + b^) = <?«?(<?* + rf*), dan zal men tevens
hebben AB(A« +B2) = CD(C2 + D«). Bewijs dit.
65. Als men stelt B = *» -f d(? + <?* en C = **c-hdc*, heeft
men 4B« — 27C« = (* — <?)« (2*» -f 5èc + 2(?»)^ Bew^s dit.
(f6. Herleid {a — b) («'»» + ér~^i + a'""^** + + S^)
67. Herleid (a + b) [a*^-'^ — a'^-^ + a»»-»*» — — **-i)
68. {x^-^^ — 2;f'»+2^ + 3;P'«+V* — 4^*) (^^ + ^y + y *).
11
+ ISb^x""'-^^*^) (3fl*ir» + 2abaY + b^a^^^^*").
71. iiaY — ¥Y + W3(' - i^y' + A) (i«!y* - i^3f' + i)-
72. (4^«i* + b^mhi — 6\m^n^ — TJwi^w» + 8+w»* + 9Ï?t5).
73. (a«-HèH-« + |iï'«-Kè«-H' + ^«t+a^+a + ^/n^»)
(i» — 2ai« + da^b — 4««).
DEELING VAN GEHEELE VORMEN.
1. Trek van 7;r« + 8;r* — 9.*» + 4;r» — ar + 21 een veelteïm
af^ die van zoo laag mogelgken graad is en een verschil
oplevert, dat deelbaar is door x^ + x^ — 2x + b.
% Deel 4p» + ix^ — 29;p -f 21 door 2;*? — 3.
8. Deel72«*— 78a»i— I0a*b^+ 17flè*+3ó*door6;p«— 4;ry — y«.
4. Deel a« — 3aé — c» op a* — 9a«è* — Goéc^ — c*.
5. Herleid (32j»« + j ^> : (2jö + g).
€. Deel 12a« + (2tó — 36c + 18) ö — 10^« + 29*c — 6* — 21c«
+ 9(? door 6a — 2è -f 3c.
7. Waaraan kan men terstond zien, dat de deeling van4r*
— 5a?* + 7x — 4 door x^ — 2x — 7 niet opgaat ?
8. Deel {a — b)x -f- a* — ab + b* op den vorm (a* — i*)a?*
+ 2a«a?« + (2a* — a^^) x + a^ -h a^b^ -f- a^*' + b\
9. Deel (a + i)»;r» + 3(a«+a«d— ai« — i»);r«+ 3(a«— a»J— a«*
+ b^x + a* — 3a*S + Sab^ — *» door den veelterm (a + i)*ar*
+ 2(a« — **).;p4- a* — 2a^ + è».
10. Kan de deding van een ongelijkslachtigen vorm door een
gdgkalachtigen opgaan ?
11. Bg een opgaande deeling is de hoogste exponent der
rangletter in den deeler m, de hoogste exponent in het
deeltal n, de laagste expoaeiit im den deeler jd, en de laagste
in het deeltal q. Bepaal, hoeveel termen het quotiënt op
zijn hoogst bevat.
12. Kan de deeËng van een gelijkslachtigen vorm door een
ongelgkslachtigen opgaan?
12
13. Bewijs, dat men deeler en deeltal met een zelfde positief
of negatief getal mag vermenigvuldigen.
14. Waarom kan de deeling van een eenterm door een veel-
term niet opgaan ? . -
15. Kan een deeling opgaan, als deeler en deeltal van den-
zelfden graad zijn ? . ■ '
16. Deel x'^'-^^ — {m-[- iy« -f 1 door x^ —'.2x + 1.
1 7 . Deel a — (a — d)x — {a-\r{m+l )d]x'' + ^ + (« + 7ncl)x''' "H^ ^qq,.
x^ — 2x-{-\,
18. [6a^ — ^am — ^an — ax -{- 12mn — Qn^ + Qnx — 4:mx — 2^?^]
: [3a — 4w, + 3w — 2^] = ' ' ^'
19. [a^—ba^b-^lOa^b^— Wa^b^ + hab^ — b'-l^ \[a^ — 2ab^+ b^^
20. [64a?6 — l^2x^^-\-2^0xY — 160^8^»+ 60^??^* — 124y«+y«]
' : [16;r* — i2xhj-^24:xY — 8^y^+y*] = '
21. [16;re+7;r^ — 2^2— I] : [4^« + 3;r2 + 2./; + l] =
22. [1 — 3^ + 3:^2 — a?» + 4;r*— 12;r5 + 4i?^e — 4;r^+34ip8— 46a:»
— 12.^10 + 20;/?ii + 11^12 _9^u8_45-^i4 + 55;ri*]
23. [64^??^'-^ — 576^.'^«^ + 2\&^xY — 4320^*V« + 4860;^?*^^
— 2916.f2y5 _|. 729[^e] : [I6;r« — 96j?V + 216./?V — 216;ray»
24. (64./;ö — 1) : {^2x- — IQx'' + èx^ — ix^ + 2^ — I) =
25.. [a"' - *./.•'«- 2 + a'« + 2^''« ««'rf,"« + 2 ^ « - 2^.w + 4-] ; j-^»»^
— a»' " ^iP^ ^ ^„i - 2^i ^/n - 3^/*-] _-
26. [1728a'»-5^#«+3c2;, + 3_ 1152^.«-3^2«+2^2p + 2
+ 624«'« - ii2« + 1^2;, + 1 _ 320a'« + W^f^P + 52a^« + '^è^» - ^c^ - ^
— 8a"* + 5*2« - 2^2/, - 2 ^ ^»e + 7^2« - 3^2;; - 3"] ; [216a'« " ^i" + 3^p + »
— 36a'« - %'^ + V + 2 + 6a"' - ^ó" + !(?/> + 1 — a'"i«cP] = . \
27. Welke waarde moet men aan k geven, opdat de deeling van
a* + i^asj __ 2a2èa + 3aè» — è^
door «2 — ab-^b^ opga?
28. Onderzoek voor welke waarden van jö en^ de deeling van
i??* + 1 door x'^ ^ px ■\- q^ opgaat.
29. Waaraan kan men zien, dat de deeling van
(a^b.— xY^x:^ — a"» — b"^ . l
door {x — a) {x — b) jsteeds opgaat. . . . .
(
13
30. Voor welke waarden van m, is
{a-\-h-^ cY — av' — i'" — c"'
steeds deelbaar door {a -{■ h) {h ■\- c) (c -\- a)^
31 . Deel 21'^x'^ — 2(3w^ — 4?^) (m — n)y^-\- Imxy door lx + 2(//^ — n)y.
32. „ (a^ + a— 2)^3 — (2«4-l);r^— («2 + a)^2(ioor(a — l>r — ay.
33. ,/ x^ — {a — h — ly — {ah + 2a — 2*);?? — 2db door
(a? — a) (ir -h 2).
34. Deel [x + 1/ + ^{x + l)^ + «(^^ + 1)^ + 4(:r + 1)« + 1 door
;r2 + 2ir + 2.
35. Deel (w + 1) (^^ 4- an)h^^x^^ — ■ (^ + 1) {nibx +* a)a'*door è^? — a.
36. Van een niet-opgaande deeling is de verhouding van deéler
tot deeltal als x -{-2 tot 2x^ — x + ^, Als de som van quo-^
tient en rest x'^ -{- x — 3 is, wat is dan het deeltal ?
37. Deel x^^ -^ x^^-^ x^+ x^+ x^^ x^-[-\Aoo\:x^ — x^-\-x^ — x^
-\- x'^ — x^l.
38. Deel x^^ + x^^ +^^4- x^ -\-\ door den veelterm x"^ + x^ + x^
+ ^^+-1.
39. Deel x!^'' - ^ + x""-" -^ * + ^^«-6 4- enz. + x^ + .r 2 + 1 door x"" - 1
— x"" — ^ + enz. — X -\-l,
40. Wanneer is x^'' -|- ;??2» - 2 _j_ <y2« - 4 ^ enz. + ;r* + iP^ -|_ 1 deel-
baar door X'' + 37'*""^ + ^'* ~ ^ + enz. + rf*^ + ^ + 1 ?
41. Als bij een deeling de deeler4/?'' — 3jö + 5 is, het quotiënt
— 3;?2 + 6 en de rest — 2^ + 3, wat zal dan de rest zijn,
als men het deeltal vermenigvuldigt met 6jö + 5 en den
deeler onveranderd laat ?
EIGENSCHAPPEN DER GEHEELE VEELTERMEN;
DEELBAARHEID, ENZ.
1. Door welk bekend getal moet men den coëfficiënt k ver-
vangen in den drieterm a* -f- ka%^ + b^, opdat deze deelbaar
z^ door «2 — ah -\-h^?
2. Hoe kan men zonder rechtstreeksche deeling bewijzen, dat
x^ ±1 ax^ + hx^ ± hx^ -{- ax ^ 1 deelbaar is door ^; zb 1 ?
3. Bepaal de rest der deeling van 2x^ — Sx''^ -\- bx — 4 door
X — 2, zonder de deeling uit te voeren.
4. Evenzdo als de deeler ;r + 3 is.
14
5. Bepaal de voorwaarde, die noodig en voldoende is, opdai
x^ — 1 deelbaar zij door a?" — 1.
6. Evenzoo voor p^ — ^ door p^ — q^.
7. Bewijs, dat een veelterm, die nul wordt, als men voor x
stelt 2, en ook, als men voor x stelt 3, deelbaar is door
(;r— 2) (;r — 3).
8. Bewijs, dat x^y^ -|- if'^z'^ + s^x" — j?y — f;^ — tTx"^ deelbaar
is door (x — y) (y — 'z) {z — x\
9. Bewijs, dat, als n oneven is,
( jö + ^ + rf — p^ — ((^ — 7^
deelbaar is door ( jö + 5') (^ + r) (r + /?).
10. Als een geheele veelterm alleen de letter x en geen ge-
broken coëfficiënten bevat, en als hij oneven getallen op-
levert, wanneer men voor x in de plaats stelt O of 1, dan
kan die veelterm voor geen geheele waarde van x nul
worden. Bewijs dit.
11. Stelt men in ax^ -^ 2hxy -\' cy\ voor x in de plaats mx^
+ ny^ en voor y in de plaats m^Xi +^iyi, dan neemt de
eerste vorm weer de gedaante
aan. Bewijs, dat men daarbij heeft
B2 — AC = (mn^ — m^ny (i» — ac).
12. In welk geval is rf?'" + a'' deelbaar door ^ + a ?
13. Bewijs dat xpy'^z^ + y^zf^x^ -\- zPx'^y" — xPs^y*" — yPx^zr
deelbaar is door {x — y){y — z) [z — x)
14. Bewijs dat 1 — a — a'' -\- a"+^ deelbaar is door 1 — 2a + a^,
J5. Laat zien dat -^ + ?^ -f 1 = 0, als^r'* H-i^y"* + ?^** deelbaar
is door x^ — (^^ + ^^)^ + (^^^^^
ALGEMEENE EIGENSCHAPPEN DER VER-
GELIJKINGEN.
1. Als de volgende vergelijking identiek is — Qh + {x — 5)
[x^ -—^x^ — x — , 16) = x^'- 7x^ -f- 9x^ — Ux + 15
wat is dan het qtiotient der deeling van
X* — 7.r» H 9x^ — 11;^' + 15 door x--b?
\
\
15
VERGELIJKINGEN VAN DEN EERSTEN GRAAD.
1. ax — 2è = hbx — 3<i. 2. a\x — a) + b\x — h) =ai;r.
3. rf?a + a« = (è — xY. 4. {x — a){w + b) = {x — a'{-hy,
5. a[x — 2) -I- 2;r = 6 + a.
6. nt\m — x) — mnx = »« (^ + xy,
7. {a + x){b-\- x)^=r^x {x — c),
8. {a — b) [x — fl) = (a — c) (x — è).'
g 2;y + 3a _ 2(3^ + 2 a) j^ 2(^"-:i^) _ 2^» + ^
;r + a 3iP + a * 3./? — c 3(;f — c) '
n. i-V_i_i 12. 1(^ + 1 ) = !(£- 1).
«;<?;*? O o\a / 4:\a /
Hct a , IK b ^ . 9a ^x 4i 2x
lo. = c[a — b) -\ . 14. - — X ^^
X ^ ' X
b b a a
^K X — a X — b ^^ X — a [x — by
b — X a — X 2 2x — a
18. {a -f b)x^ — a{bx + a^) = bx(x — a) + ax{x — b).
19. b{a + .<;) — (a + ^) (ó — ;r) = a?a + ^.
a
20. ó(a — ;r)-- -^-(è + ^)' + W^ +l)*=0.
. [2x — a)ix+ '^^\=ix(^^x\—^^{a^4.x){2a + ^x).
23. Van welke evenredigheid verschillen de 4 termen evenveel
van de vier getallen 12, IS, 9 en 14?
24. Een getal is een veelvoud van 8 plus 6 en een veelvoud
van 11 min 4. Als men dat getal door 8 deelt, zijn de
geheelen van ^t quotiënt 5 meer dan wanneer men het
getal door 11 deelt. Welk getal wordt bedoeld ?
25. Bepaal in den eenvoudigsten vorm de waarde van x als,
(2a + b)b'^ yb^ b Sab<^
^(a + è)2 ^ + (aTby ~ ^ a "" ^ aVb
22
16
26. Een waterbak, die vol is, kan door twee kranen A en B
van ongelijke groote geledigd worden. Men opent de kraan
A en laat een vierde van het water wegloopen. Ver-
volgens opent men de kraan B en men laat ze beide
loopen. Op die wijze loopt ook het overige water weg
en hiertoe is 5 kwartier, meer noodig dan de eerste kraan
noodig had om een vierde Van het water te laten weg-
loopen. Als men de twee kranen van ^t begin af had ge-
opend, was de bak een kwartier vroeger geledigd geweest.
Men vraagt hoeveel tijd de kraan A noodig heeft, om den
bak alleen te ledigen ?
27. Een vader verdeelt zijn nalatenschap op de volgende wijze
onder zijn kinderen. De eerste krijgt een som a en het
/i-de deel van de rest. De tweede krijgt 2ü^ en een w-de
van wat er daarna overblijft. De derde krijgt eerst 3^ en
een w-de van wat er daarna overblijft. Enzoo voort. Ten
slotte blijkt dat de geheele erfenis is verdeeld, en dat alle
kinderen evenveel hebben gekregen. Hoe groot was de
erfenis ? Hoeveel kinderen waren er en hoeveel kreeg ieder ?
28. Als aan de vergelijking
41 — 8(5 — ./:■) = 4(2 — ./•) — 19
wordt voldaan door x =^ — 1, schrijf dan terstond een
vergelijking op, die zoo weinig mogelijk van de vorige
verschilt en waaraan voldaan wordt door x = + 1 .
29. De oppervlakte van een trapezium, waarvan men de even-
wijdige zijden B en ^ en de hoogte h kent, te berekenen
. door het te beschouwen als 't verschil der oppervlakken
der twee driehoeken, die men krijgt, door de beenen van
het trapezium te verlengen. Bespreking der uitkomst.
30. Twee vazen, wier inhoud v en v' is, bevatten ieder een
mengsel water en wijn, de eerste in de verhouding van
m tot n en de tweede in de verhouding van m' tot n. Welken
inhoud moeten twee onderling gelijke vazen hebben, opdat,
wanneer men de eene vult uit de eerste vaas en de andere
uit de tweede vaas en vervolgens in de eerste vaas giet
wat uit de tweede is genomen en omgekeerd, de verhouding
van het water tot den wijn dezelfde worde in de twee vazen.
' 17
;31. Iemand plaatst zijn rijksdaalders op stapeltjes van 11 en
! houdt er dan 1 over. Vormt hij stapeltjes van 13 dan
houdt h^ 9 rijksdaalders over en kr^gt hij 2 stapeltjes
minder. Hoeveel r:yksdaalders heeft hij ?
32. n steenen liggen in een rechte lijn zoo dat de afstand van
elke twee opeenvolgende steenen d is. Men vraagt om
op die Ign een punt X te bepalen, zoo dat men tweemaal
zooveel trjd noodig heeft om achtereenvolgens eiken steen
naar X te brengen als om alle steenen te brengen bij
den eersten. — Men onderstelle dat men in elk geval
uitgaat van den eersten steen.
33. Iemand belegde een som gelds in 4 percents effecten,
waarvan de koers 86|^ was. Hij verkocht die effecten,
toen ze op 90 stonden. Van de opbrengst nam hij/ 360
af en het overige belegde hij in ^\ percents effecten, die
op 97|^ stonden. Als hij nu van deze laatste evenveel
rente ontvangt als hij van de eerste effecten ontving,
welke som heeft hij dan belegd in 4-percents effecten?
84. Een generaal wil een regiment van 1164 man in een
carré plaatsen, waarvan het midden ledig is, zoo dat er
j op elke zij 3 rijen zijn. Hoeveel soldaten moet hij in
I de buitenste rijen plaatsen?
B5. Een soldaat, die naar zijn garnizoen vertrekt, berekent
\ dat hij a oi h dagen te vroeg zal komen, al .naar hij c
of (l kilometers per dag aflegt. Hoe ver is hij van zijn
garnizoen verwijderd? Bespreking.
B6. Eenige boomen zijn in de hoekpunten van een regelmatigen
veelhoek geplaatst, waarvan de omtrek p meters is. De
I tuinman verplant ze echter op een rechte lijn zoo dat de
afstand van twee opeenvolgende boomen dezelfde blijft
, terwijl de afstand der buitenste twee boomen q meters
I wordt. Hoeveel boomen zijn er?
&7. Een boerin, die met eieren ter markt gaat, verkoopt aan
' een eerste persoon een half ei meer dan de helft van
haar eieren, aan een tweede persoon de helft der eieren,
! die zij overhield met nog een half ei; enz. en aan w-de
persoon de helft der eieren, die zij overhield, met nog een
2
TWEE o
' «
■ ^'f
- l
1 i^
— m
■ 'y
- .t*
'y
- 0:
/
1
/
'//y
1
ê
.///■
i ^
/
Vy
K tf — «:
«
4 '
/>!'/
i'l)
'' I
'i — '#
^i^^
*/ ^
//
^'/y ^=
*-///.
•i~* *»
•'é
'ii
•i
/; ■
//
I
1M,
t
1>
'//
V
is £.-
ƒ'-
./--i
19
I te A iri r ^jg X -\-^=^2p en O! — y= 2q, bewgs dan dat
► ff a: * ^4 _ 23^»j^« + i'* = (7j^' — 3?«) (7^2 _ 3^2)
Los op het volgende stel vergelijkingen
riV jC I^ («' — ^') {^^ + 3y) = 2aè(4a — ^)
-^ — ^2^ __ _^ + (^ + ^ 4_ ö)i;r = b^^ + ab{a + 2è)
. - . = . Een getal van twee cijfers te vinden, dat aan de volgende
« - . = voorwaarden voldoet. Telt men de som zijner cyfers op
b^ 9 zestienden van ^t getal, dan krijgt men een getal dat
uit dezelfde cgfers bestaat als het eerste getal. Met welk
deel van 't getal moet men het verschil zijner cijfers ver-
menigvuldigen, om het produkt der cijfers tot uitkomst
te krggen?
t. Los iï? en ^ op uit de volgende vergelijkingen:
X Z ^ X Z 1
a + b a a — b a + b
5. Als men uit de vergelijkingen ax + bc = by + ac en ^•
+ y = c vindt X = ac : {a + b), schrijf dan rechtstreeks
de waarde op, die men voor ^ zou vinden als men de
vergelijkingen oploste.
6. floe moet men in de vergelijking
X — 1 iT — 2 x + 1 x-\-2
a en b uitdrukken in c opdat de vergelijking van den
eersten graad wordt, en wat is dan de waarde van x.^
VERGELIJKINGEN VAN DEN EERSTEN GRAAD MET
DRIE OF MEER ONBEKENDEN.
1. Los het volgende stel vergel^kingen op.
£+1+^^ + 1 = 0.
f- -\- ^ 4- " A-\ — O
9 +r2 + Ï5 +
20
2. Los X, tf ea z op uit de volgende vergelijkingen
X — y + «e; = O
(a + b)x — [a + c)y + (b + c)z =
ahx — acy + bcz = 1.
3 ^ ■ y . ^ _ ^^ + ^' + g^
bc ac ah abc
b^x — è = aé* — y
j^ = _ j_
bx + z ah + c
4. (c + a)x — {c — d)y = 2bc
[b + c)2? — {b — c)x = 2ai
(a + è)[y — {a — b)z = 2ac
5. (^ — ft)g + ( g — # ^ (^ — <?)^ _ o
z y X
z y X
o. — — ^ = — , mx -rny -\- pz=.i\
a bc
7. Als men bij het oplossen der vergelijkingen
xAry -^zz=l
ax + by + cz = m
l — a l — b l — c
vindt X = \ ^JS J^3 ^eff dan, zonder de vererelii-
{a — b){c — a)'^ ^ ^
kingen op te lossen, welke waarden men vindt voor yen -2?.
8. Welk verband moet er tusschen a, b en c bestaan^ opdat
aan de vergelijkingen
X =:i cy + bz
y = az + ex
z = bx + a^
voldaan worde door wortels, die van nul verschillen?
21
9. ^+-J!_^.^_ = 1 10. --£_ + -J^ = a + è
a a — ra — b o + c c — a
b b — r o — 8 a + c a — o
X y z t z X ,
c
c — re — 8 a + b b — c
11 *fjii^ = _ _fLziA__ 12. ^ — ^,^'—^ _ 1
c {b — c){a — c) ' h — m b' — m'
ex + az {a — e) b — x b' — y ^
ï ^b — c){a — b) b^irn+v^:r^'~
e^ + bz b — e n — x n' — y ^
a {a — c) (a — ^) n — m n — ni
13. Als men bg het oplossen der vergelijkingen
ax + by -\- ez =\
a^x + b^y + c^z =1
a^x + b^y -\- c^z=:l
vindt X = \ -{y L zeg dan, zonder de vergelijkingen
[a — b)[a — e)
op te lossen, welke waarden men voor y en. z zal vinden.
14. Geef 2 vergel^kingen met 3 onbekenden, zoodanig dat
een van de onbekenden bepaald is.
15. Geef 3 vergelijkingen met 4 onbekenden, zoodanig dat 2
van de onbekenden bepaald z^n.
16. Als twee verg. van den eersten graad met 2 onbekenden
afhankelijk zgn, wat weet gij dan van het stel, dat ont-
staat, als men bij een der bekende termen 5 optelt.
17. Als de stralen van 2 cirkels en de a&tand van hun mid-
delpunten gegeven zgn, vraagt men den afstand te bere-
kenen van een der middelpunteli tot het punt, waarin de
uitwendige gemeenschappelijke raaklijnen de rechte lijn
ontmoeten, die door de 2 middelpunten gaat. (Antwoord:
Noemen wg de stralen R en r en éf den afstand dermid*
delpunten. Zij x de afstand van het middelpunt van den
cirkel r tot het genoemde ontmoetingspunt, dan vindt
men ;i? = rf R : (R — r), Bg de bespreking onderstelle
men: l^ R>r; 2*. R = r benevens rf>0; 3*. r = R
met rf = 0; 4^ R</'.)
22
18. Bepaal onder welke Toorwaarcle aan de vergelgkingen
x = az + p
X = az+jp'
y = b'z + q'
wordt voldaan door dezelfde waarden van x, y en z.
Bepaal deze waarden.
19. Los x^ y ^VL z op nit de 4 vergelgkingen
z
-f)
-f-)
-o
20. De 4 vergelijkingen met 3 onbekenden
X z 1 /
a c l \
X z
- + -
a c
X
a
z
c
X
a
X
a
X
a
X
a
c ?n \
z
c
z
e
z
c
+
l
h
+
)
f)
)
)
1
h
V
h
zgn strgdig^ als / en ^ ongelijk z^n, en de onbekenden
zgn onbepaald, als l en m gelijk zijn. Bewijs dit.
21. Op te lossen a^ + a^x + a^y -\- az + u =
b* -f b^x + b^y + bz + u =
<?* + c^x + c^y + cz -\' u = O
d* +d^x + d^y+dz + ti =
22. Op te lossen ax + k{y + z + u) = l
by + k(z + M + x) = m
cz + A{u -{- X + y) = n
du+ k{x -\- y + ^) =p
(Men bepale eerst de som der onbekenden.)
j
23
23. a.Vi + bx^ = Cy 24. ax + h {y -\- z + v) =^ c,
«1^-2 + *i^8 = ^i> ^y + h{^ + t^ + ^) = ^1,
«2^8 + *a^4 = ^2. «-2: 4- h{^ +^ + y) = ^2>
«8^4 + *8% = <?8^ ÖJ*' + ftaC^ +y + ^) = Cg.
25. Bereken de onbekenden uit : x + y -{■ z = v
av — bx — az =^ a^
bv — bz — ay ^=ib^
cv — az — cy =^c^.
26. Op te lossen : u + v + ^{x -f y) = 8
^* -^ y + ï(^ + ^) = 6.
27. x+y + z + v = l,
.^• + ay + bz + eu + dv = O,
X + a^y -f bH + <?«w + rf^t? = O,
X -\- a^y + b^z + c*z* + dH = 0.
28. Een legeering, die p gram weegt, bestaat uit goud, zilver
en koper en verliest in het water a gram aan gewicht.
Als uu goud in 't water m percent aan gewicht verliest,
zilver m percent en koper m" percent, hoeveel van elk
der metalen is er dan in de legeering, als men weet, dat
het verlies aan gewicht van 't koper, in de legeering aan-
wezig, tot dat van 't zilver, in de legeering aanwezig,
zich verhoudt als 1 tot n.
29. n ossen hebben in t dagen het gras opgegeten van een
weide, wier oppervlakte a is, benevens het gras, dat er
in dien tijd eenparig bijgroeide. Van een andere weide,
vder oppervlakte a' is, werd in ^ dagen het gras met het-
geen er intusschen eenparig begroeide, opgegeten door
71' ossen. Hoeveel ossen zullen noodig zijn om in dagen
het gras op te eten van een derde weide, wier oppervlakte
a is, met het gras dat er intusschen eenparig bijgroeide*
(Newton, Algemeene rekenkunde).
30. Hoe moet men in de vergelgking
a b c d 1 ^
24
a, b en c uitdrukken in ^^, opdat de vergelijking van den
eersten graad worde ?
31. Los het volgende stel vergelijkingen op
jp-\-y -{-2z = 'i, X + 2^-^4:2 = 7, 3j? + 4y + 8-2: = 15.
32. Los op 1,2345;^? + 1,357% + 8,642;? — 9,765744 = O,
7,447;r +5,225j< —6,336^—0,611327 = 0,
1,5380a; + 4,4444y — 5,6789^+1,2001 1 = 0.
33. Los op a^ + ^ + 2z + v = b
2x + St/ + 2z-^ v = 8
3iv — ^ + 4z-^'2v = 8
Qx — ^ -{- 2z — V = 2.
ONTBINDING IN PACTOREN.
1. Herleid de volgende vormen tot veeltermen en breng ver-
volgens zooveel mogelijk factoren buiten haakjes.
{m — n). {2a — Sb) — {4a — 2b).{n — m) =
(a« + ab^ b^) . (a — è) + (a* — ab + b^) . {a-\- b)
+ 2a\a — o) =
15a« + 24*2 _ (3^ ^ 2b) . {ba + 6b) =
{2a — Sb) xia — b)-- {bb — a)X {b — a) ^ {a — 4*)
X (a — ö) =
2. Welke eigenschap ligt opgesloten in de formule
{p^ + q^) {r^ + «*) = {pr ± qs)^ + {qr ^ps)^
3. x^ + 16^8 + 15.
4. ir* — 14;ra + 49.
5. ^4_^.2_ 42.
6. 12;^;* — 60^2 _ 288.
7. 7ir* + 14^2 — 245.
8. {a + by + l{a + J) + 12.
9. {a — by — l\{a — b)^l8,
10. [x+^y—{x^i/)-2.
11. {x +y)' + 2{x+y) {a+ b) + {a^ b)'\
12. {x — y)^ — 6{x _ j^) (a — è) + 9{a — è)«.
13. {x + y)^ + 12(0? + y) (« + *) + 35(a + b)\
19.
X* 1f' .
20.
12a,' s 75.
21.
180ar* 245.
22.
{x + \y x^.
23.
{x + ly — {X-
■ xy.
25
14. ^2_i69.
15. x^—l.
16. 4tx^—l.
17. 9x^ — Uy\
18. l — 2ha\
24. a2^2ac — 6« — 26rf + ca — rf2,
25. a* + 2a' + a^ _ J4 + 2*' — hK
26. «8 + 6» + c» — 3a*c.
27. x^ — y^ — z^ — ixzy.
28. a^ + i'^ + l — 3aJ.
29. «3 + 8*« + 27c8 — l^abc.
30. «8 — è« + 8c»+ Qabc.
31 . ;p^'» + ySp + ^'^ — 3a?»y^^'"
32. (a + è)8 + (c+rf)3 + (^+/)8
-3(a + *)(c + ^){^+/).
33. Indien jö+ y+ r = O, is jö* + j^» + r' = S/^g^r. Bew^s dit.
34. Ontbind de volgende vormen in factoren
2x^ — 22;r + 56. x^ + 40d? + 391.
ax^ —llax^ 30a. x^ — 8x — 384.
;ir8_ 7ara_ 120a?. ;i?« — 40^ — 384.
x^ + 17;p2 + 60iP. x^ - 40a? + 375.
3a.« _ 30a?2 + 48a?. a?* — 169a?2 + 3600.
d?2» + 16a?» + 48. o?* — V^'^ + 1-
a;« _ 13a?' — 48. a?« + 35a?« + 216.
x^ + 60a? + 891. a?« — 1000,001a?» + 1.
35. Ontbind a?» + 9a? — 10.
36. ,/ a^ + 2a — 99.
37. „ 6jö2+jö— l.
38. /y ;i?2_;P_12.
39. Deel 2a?(a?^ — 1) (a?+ 2) met behulp van de ontbinding in
factoren door x^ + x — 2.
40. Deel 5a?{a?« — 11) (^^ — o? — 156) door a?» ^- x^ — 132a?.
41. Deel a?« + 19a?« — 216 door (a?^ _ 3a? + 9) (a? — 2).
42. Deel a^ — h^ door het produkt van a^-{-ab+ b^ en a^
43. Deel (o?» — 3a?«y)2 — (30^/^— y«)» door {x~yY.
26
44. Ontbind in factoren.
{4fl + 3i)2 — (3^ + 4^)2
l2a — by — {a — 2by.
4a^^ — (a'' + b^ — cy.
4a^ _ (^« + 1 _ca)2,
(;r2 — 2;r + 3)2 — (^2 — 3.r — 4)K
45. Bewijs dat {p^ +p + 1)* + {p^ — P+ 1)* deelbaar is door
46- Ontbind in factoren
a^ + b^ -\' 3ab{a + by
a^ — b^ — *óab{a — b),
a^-^b^^b{a — bY'-a{a^ — b^).
«2 — ah + 2(*« — ab) + 3(a« — 6») — 4(« — J)a.
.r3 — 9rf?^ + 9;P— 1.
(3a — 2)2 — (a — 3)^
(«2 + J2)a — ia^hK
48. Als {a^'^bcY{V' + acY{c^+ahY = {a^ — hcY{b^—acY{c^—abY,
bewgs dan, dat
of a^ 4- ^8 4. c» + abc = O,
a^ o' c^ <20c
49. Bewijs, dat .r^ + ?/5 — ^4?/ — ij?y* altijd positief is.
50. Laat zien, dat de tweedemacht van x ■{- 1 deelbaar is op
(^« + x^ + 4)3 — (^8 _ 2a? + 3)3
51. Ontbind in factoren
aj2 _ 64; 0,000 Lr* — 1 en ^r^^ — ƒ«.
Ontbind in factoren
52. 6x^+12a^y — 2y''.
53. 15.^2 _ la^^ ^ 10^^
54. 3;r2 — 10.rr/ + 7?/2.'
55. 3(ö + 2»)2 — 10{a + b)y + Ty^.
56. \h[a + è)2 + U{a + ^^)(^ + y) — 8(ir + yY^
27
57. 6a?« + 7;P + 2.
58. 6x^ + 0! — 2.
59. 3a?8 + a? — 2.
60. lOiP»— 17iP + 3.
61. lbw^ + Uuj — 8.
62. 7^« — 50a? + 7.
63. ap« — 3^y — 2y2.
64. Deel op de eenvoudigste wgze
w^ -\- 6x^ + 12;r + 8 door x^ + 4x + 4.
65. Deel x^ + {a -\-b + c)x^ + {ab+ ac + hc)x + abc door x + «.
66. ,/ x^ — (a -\-b — c)x^ + (ab — bc — ac)x + abc door ^ — a,
67. „ ;f8 — (2« + i)^« + (a2 + 2aè> — a«èdoor;2?2— (a+i).r+öè.
68. „ {x — 3) V + 5) door x^ + 2x—\h.
69. „ \x^ + 5^ + 6) {x^ + 9d? + 20) door x^ + Qx + 8.
70. „ «« + 4*« + 1 + 4aJ — 2« — 4è door a + 2* — 1.
71. „ (a + *)2 + ll(a + i) + 28 door a + *+7.
72. „ {a + hy — (a + A) — 20 door a + b + 4t.
73. „ (a — /^)« — 1 5(« — b)c + 56c« door a — b — S.
14t. „ (x + yY + -s;' door (ir + yY — (;r + y)z + z^,
75. // a?^ — {y — zY door x — y + z-
76. „ {x + y)» + 3a(ar + y)« + 3^^ + y) + «' ^oor (^ + vY
77. i^ ir« + y' + 2r* — 3;py-2 door x + y + z.
78. ^ fl'* + 86» + 27c» — ISflfc door a^ + U^ + 9c« — 2a^
— Sac — 6bc.
79. „ x^ — 2a^x^ + a^ door x^ — 2ax + xK
80. // ;r« — 2;r» + 1 door (a?^ + ;r + 1)».
81. „ x^ + 64 door x^ + 4x + 8.
82. Ontbind ««^s _ 8d^_,p8 • 8 . . . .
83. x^ + 16x^ + 256.
85. rf-* + y* — 7d^*?/^
87. ar*— 6^y + /.
89. 47n^ '\- 9n^ — 24m^n\
91. ;?;* — 19.ry + 25y^
84.
JLXX TXC/X XaV/UVPXClX.
81a* 4- 9«2^« + *^
86.
m^ + 71^ — 18m^n^.
88.
90.
92.
4tx'' + 9y* 9^xY'
9x^ + iy^-\-\\xY'
16«* + ** 28a^b\
♦
28
93. Deel .r» + ^* + 1 door x^ — ar^ + l.
94. f/ a^j!^ H- a^x^ + 1 door a^x^ + ax^ + 1.
95. // J* + a^x^ + a* door x^ — ax^ + a*.
96. „ x^ + x^ + 1 door {x* — x^ -\- l) (;<.•« + j? + 1).
97. „ x^ + x^+l door x^ + x+1.
98. „ ;r8 -f ^* + 1 door (;r* _ ;r« + 1) (.r* — u; -j- 1).
Ontbind in 2 of meer factoren
99. x^y + 3xy^ — 3x^ — y\
100. ab{x^ + 1) + ^(«' + bh'
101. a^ f (a + *)aiF + bx^.
102. 6^.i'(a2 + 1) — a{4x^ + 9*«).
103. (2:^2 _ 3^2)^ _(. (2^2 _ Sy^)x.
104. a(a — 1);f2 + {2a^ — l)x + a{a + 1).
105. ^x^ — {Aa + 2b)x + «* + 2ab.
106. 2«2^« — 2(3* — 4c) (* — .%^ + ahxy,
107. («2 — 3a + 2)a'« + {2a' — 4a + 1);f + a{a — 1).
108. a(a + l)x'' + (a + *)^ — b{b — l)yK
109. ^^8 ^ c« — 1 + Sbc. 110. a« + 8c« + 1 — 9ac.
111. a^ + b^-^ 8c^ — 6abc. 112. a» — 27*» + c' + 9a*c.
113. ^8 _ j3 _ ^8 _ Qai^c, 114. 8a3 + 276» + c» — 18afe.
115. Ontbind ^^ + 81^?* + 6561 in 3 factoren.
116. „ (a* — 2a^b^ — h^Y — 4a *6* in 4 factoren.
117. „ 4(a6 ^cdY — {a^ + fca __ ^2 _ ^^2)2 j^ 4 factoren.
Ontbind in vier factoren
3
2
118. ^ — 8.?' — a» + 8.P^ 119. .?•« + ;/?8^« — 8^'«^3 — 8^9.
120. •*•» + *• + 64^;» + 64. 121. 4» — 9J + ^' — -^.
122. % - ï - ^. + ï- 123. .e - 2.^.- + 6i - 1- ...
29
Ontbind in vgf factoren
124. ;i?7 + ir* — 16x^ — 16. 125. 16^^ — Slor» — lö^r* + 81.
126. Bewijs dat {3x^ _ 7ar + 2)» -- (^r» — 8a? + 8)« deelbaar is
door 2w — 3 en door ïv + 2.
127. Bewijs dat
bc{b — c) + ca(c — a) + ab{a — é) = — {b — c){c — a)[a — b)
door het eerste lid te herleiden tot het tweede.
128. Als ijc^ + n^ = 2{xy -{- yz + zu — y^ — z^) bewijs dan, dat
X = y = z = u.
129. Bewijs de volgende identiteiten
b{x^ + a«) + ax{a!^ — a^) + a%x + a)
= {^ + b){x ■{■ a) {x^ — ax + a^),
{ax + byy+{ay — bxy+c^x^-\'Ch/^ = {x^ + y^){a^+b^+c^),
{x f yY + 3 {x+yYz -\- S {x + y)z^ + z^
= (x^zY + 3{x+ zYy + 3 (;r + %' + t/^
(a-^b -\-c) (ab + bc + ca) — abc = (^a + b) (b + c) [c + a).
[a + b -\- cY — a[b + c — a) — b(a + c — b) — c{a -^b — c)
= 2(a« + b^ + ca).
(^ —yY + (^ +.yY + 3(^ — yY {x + y)
+ ^x+yY{x — y) = %xK
xHy — z)-{' y\z — ;r)+ z\x — y)-\- {y — z){z — x){x — y) = 0,
a\b — (?) + b\c — a)^ c\a — b) =
— {p — (?) (c — a) (a — b){a-\-b-\- (?).
130. Als X +y -\- z={), bewijs dan dat x^ -\- y^ -\- z^ = dxyz.
131. Bewijs (b — cY + ((? — «)« + (a — J)» = 3(* — (?)((?— fl)(«—i).
132. Als 28 = a -\- b + c, bewijs dan
{8 — aY +{s — bY + (* — cY + s^ = a^ + b^ + c\
Is — aY + {s — bY + (* — cY + 3abc = sK
16s{8 — a){ê — b){s — c)
= 2b^c^ + 2c^a^ + 2a2j2 _ ^4 _ j4 _ ^4.
2{s — a) {8 — b){8 — c) + a{s — b) [s — c)
+ b{8 — (?) (* — a) 4- c[8 — a)[8 — b) = abc.
30
13B. Als a + b + c = 0, bewgs dan dat
(2a — 6)« + (26 — c)» + (2c — fl)3
= 3{2a ~ b)(2h — c) (2c — a).
ga 6« c^ _^
2fl2 4- hc "^ 26^ + (?« + 2(?« + fli
134. Bewigs dat (^ + y+ '2f)* + (^ + 2/ — ^Y
+ {^—y'\-zY+ {x — y — zy=4:x{x^^ 3y» + 32ra).
135. Als a 4- * + c = *, bewijs dan dat (s — 3a)» + (« — 36)»
+ {s — 3c)» — 3(^ — 3a) {s — 3b) {ê — 3c) = 0.
136. AlsX=i + c— 2a,r=«c + ö^ — 2*,^= a + è — 2c, bepaal
dan de waarde van X» + 7» + ^» — 3XYZ.
137. Bepaal de waarde van a{a^ + bc) + b{b^ + ac) — c{c^ — ab)
als a == 0,7, b = 0,08, c = 0,78.
138. Bewijs dat (a — by + {b — c)» + (c — a)«
= 2(c — J) (c — a) + 2(6 — a) (6 — c) + 2(a — 6) (a — c).
139. Bewijs a«(6» — c») + 62(c» — a») + c^^* — ^^)
= (a — 6) (6 — c) (c — a) (a6 + èc + ca)
== aa(6 — c)» + 62(c — a)3 + ö> — 6)»
= — [a«6«(a — 6) + b^c^b — c) + c2a2(c — a)].
140. Als (a + 6)« + (6 + c)» + (c + ^)a = 4(a6 + bc + cd) bewijs
dan dat a=zb = c = d.
*
141. Als ;r = a + ^, ?/ = 64-c?, -2; = c + ^, bewijs dan dat
x^+y^ + z^ — yz — zx — xy = a*+ 6*+c^ — 6c — ca — a6.
142. Als a + 6 + c = O, bewijs dan dat
62 + C2 — «2 c^-\-a^ — b^ ^2 + ja_^2
143. Als a + 6 + c = O, vereenvoudig dan
6c ca ab
144. Bewgs dat de vergelijking
{x — a)'+{t/ — b)' + (a^-{-b^-^l){x^-^2j^—l) = 0.
gelijk staat met de vergelijking
{ax -{- by — 1)^ + {bx — ay)^ = 0;
zoodat de eenige reëele waarden voor x en y zijn
a 6
a^ + b^' a2 + 6^'
31
145. Als 2{x^ + a» — aur) (y^ + è» — by) = x^y^ + a^b^, bewijs
dan dat {x — ay(y — by + {bx — ayY = O,
zoodat ^ = en y = 6 de eenige waarden zijn die voldoen.
DE GROOTSTE GEMEENE DEELER.
Bepaal den grootsten gemeenen deeler in elk der vol-
gende gevallen.
1. ^x^ + 9x+ 18), 9(ara _}. 3^ _ 18).
2. 1%2 + 3.r — 108), 21(;r2 - 3^; — 54).
3. 12(^a + 2a: — 99), \S{x^ + \2x + II).
4. ^^ + 2;r^ + ?/^ x^ — y^,
5. .^?* — {2a + 3c);r + 6fl5C, .i?» — 2{a — c)x — Aac.
6. ;??2 — \a + 3)a? + 3a, ;ra — (3 — c)x — 3c.
7. ;r^ '—\a + 3)^7 — (a + 4), ;i*2 — x{a + 4).
8. r/2 + ^a _|. ^2 _,. 2rtJ + 2ac 4- 2bc, a'^^h^ — c^— 2bc,
9. a^ — b^ + 2bc — c^ «« + 2ah ■\-b'^ — c».
10. x^ + 2u:i/ + ?/2 _ «2 _ 2^ _ 52^ ;,,2 + 2fl.^• +«2 ^y^ — 2by — b^,
11. ^a_2;r?/ + ?/« — a2 + 2a5 — è2,;i,'2_2a.r + a2— 3/2 + 2% — è*.
12. 2^-3 + 6;r2 _|. g^. _^ 2, 6rf?« +6:«,'2 _ 6^ _ 6.
13. x^ — y^, x^ + 2x^y + 2xy^ + y^.
14. ^8 + 2x^y — ;^2 __ 2y3, x^ + 2/8.
15. (;r — i){x + 5), (;r + 5) (o? — 6), {x + 5) (;p + 9).
16. {x — 2) (^ + 1), {x + 1)\ x^ — 1.
17. .^2 + 9^ + 14, x^ + 3x + 2.
18. x^ + ix + 3, x^ — 1.
19. .!?2 — 5.r + 4, x^ + x-— 2.
20. ;r2 — 3^ + 2, ^2 _ g^ ^ 5
21. .*?« — .(? — 6, ir2 4- 3a?— 18.
22. Zoek den grootsten gemeenen deeler der twee algebraïsche
vormen :
6x^ + liJX*y 10;F2y^2 4;p«^2 gjj
9cr»y — dxyz^ — 21x^yz + 18^/^2.
32
23. Zoek den grootsten gemeenen deeler van:
l5iF« — IGxy — I5y« — 29i? — 31y — 14 en
9ar^ — 15x^y — Iby^ — 2U^ — 12;r + % — y + 28.
24. Zoek door deeling den grootsten gemeenen deeler van:
Ao!^ + 2ay — 2w— 20y« + 31y — 12 en
Qu^^ + 19arat/ — 6x^ — 22ar 4- 10^^ + 7^ — 25y + 20.
25. Zoek den grootsten gemeenen deeler van*.
6ar2 _2x7^ + x — 20y 2 + 31y — 12 en
9x^ + 21y.r2 _ 3^2 ^ jo^a^ 4. 7ya^ _ 270- — 25y + 20.
26. Wat is de ggd. van aP en a'?
27. Bepaal al de factoren, die gemeen zijn aan dp^q^r en Ibp^qs*.
Bepaal den ggd. in elk der volgende gevallen.
28. 6.r* — 25a«ér2 — 9a* en 9;?* 4- Oö^^p» + a\
29. fl* — ar* en «* + a^;?? — aw?' — x^,
30. 20;r* + iF2— 1 en 25;f* + 5^?» — ^ — 1.
31 . a* — ir* en a» + Sa^r + Sax^ + ^r».
32. ia^ -- Qw^ en 8a^ + 36^2;? + 54aa?* + 27ir8.
33. 9a2 _ ^2 en 27a'^ + 27^2* + 9ab^ + b\
34. Bepaal de enkelvormige en de samengestelde factoren, die
gemeen zgn aan de volgende 2 vormen
^8 — ^.2 — 5,p — 3 en ;f' — ix^ — 11;f — 6.
35. Bepaal het aantal der deelers, die gemeen zijn aan
5(a — ^)«i*c en 7{a — by{a + b)b^e\
36. Bepaal bij de volgende vermenigvuldiging den ggd. der
twee gedeeltelijke produkten.
8^8 — 4^2 + 2rf? — 1
2x +_1_
lÜx^ — 8w^+ 4x^ — 2x
+ 8x^ — 4a?' + 2a? — 1
ï 6a'^^ — 1
37. Bepaal den grootsten gemeene deeler van
{m^ — 3w^ + 2)x^ + {2m^ — im + l)x + m{m — 1) en
m{m — l)x^ + {2m^ — l)x + m{m + 1).
33
38. Van mpx^ + (mq^ — np)x'^ — (wr + if^Ji^ + 'n/r en
max^ — (me + n(i)x^ — (wi — n6)x ■\- nh.
39. Van ^ap"" + {^a — 2h^^q -f (« — ^b)pq^ — hq^ en
3ajö8 — (« 4- 3%23' + {2a + èjjo^^ _ ^bqK
40. Van «c^r^ + [hc + a^)^??^ + (è^ + ac)x + bc en
2acx^ 4- {2be — ad)x^ — (3a(? + bd)x — ^bc,
41. Als X -\' a een gemeenschappelijke factor is van ir* + jöa?+ 5^ en
x^ -\- lx -\-m, is a= {m — g^) : (/ — jo). Bewijs dit.
42. Bepaal de som der deelers^ die gemeen zijn aan
6(iö — - qY {P + 9)P^9^ en 9(jö — qy{p + qYp%
43. Bepaal den ggd. van
2a^x'' — (4è + 3)ö;r2 _^ 2(3i — ac)x+ 3c en
2a2;r8 ^ (26 — 3)a;r2 — (4ac + 3A);r + 6c.
44. Van 2ax^ + (4a2 — \)hx^ — {2ab^ + Sc)x — 6abc en
^;p3 _ (3 _ 2a^)bx^ + (2c — 6ab^)x + Aabc.
45. Als ax'^ — bx + c endx^ — bx -{- e een factor gemeen hebben,
is a^ — abd + cd^ = 0. Bewgs dit.
46. V^oor welke waarden van x zijn teller en noemer van de
volgende breuken gelijktijdig nul?
%x^ — fe — 9 X- + 4;r 4- 4
x^ + lx^^- \ &x^ 16 6;r*— 13^ — 6 "
2^« + 12^2 _|_ 22^ + 24' ^x^— l3;r + 6'
Ux'' — 84^ + 12 3^2 ^ ^ ■ — 4
9;r22^ — 39:7^ + 42^* 2:^3 _ 3;^* ^Ti-
47. Bepaal bij de volgende vermenigvuldiging den ggd. der
drie gedeeltelijke produkten:
2x^ + xy -\- 2xz — ^yz — z^
X — y -{- 2z .
2x^-\- x^y-\- 2x^z — Sxyz — xz^
— 2x^y — 2xyz — xy^-\- Sy^z + yz^
ix^z + 2xyz -\- 4xz^ — Qt/z^ — 2z^
2^8 — x^y-{- i5x^z—Sayz+Sxz'^—xy'''\-i^y^z — byz'' — 2z^,
48*. Zoek door deeling den grootsten gem. deeler van :
iyxV^x -\- X -{- AtjV X — 101/ X 4- 3i?;^ 4- ^^ — 5^ 4- 4 en
2x — hyV a +Vx — 3//^ 4- 4y — 1 .
3
34
49. Bepaal bg de volgende deeling den ggd. der drie affcriidbers
x^ + 2x^a -f 2x*a^ f
— 2x^a—2x^^ /
— 2iX^a — 4ar«a* — 4xa^
2xH^ + 4iPa8 _|. 4^
2^aa2 + 4;ra» -f- '4a*
50. Als x*+px-\-r en 3.r2+jö een factor gemeen hebben, is
-irP^ + i^^ = 0. Bewijs dit.
Bepaal den ggd. in elk der volgende gevallen :
51. a* + 2a8* + 2a^^ + 2a¥ + 5* + a^c + a%c ^-ab^c -h hH en
a» + J» + aV — a%c + a^i^c — ahH + è*c.
52. 4(t? + d)x'' + (4a + 46 + 3(? + ^d)x^ + (3a + 3i + 2(? + 2^)a:«
+ (2a + 2è 4- <? + <i?)iï^ + (a + 6) en 4(c + d)x^ +
(4a 4- 4* — 3c — U)x^ — (3a + 36 + 2c + 2rf)iP« —
(2a + 26 + c + rf)rf' — (a + 6).
53. x^ + 2;r^ — 2a:* + "Ix^ — 1x^ + 2ar —.3 en
a?« — 8a?* — 8;r-^ — 9.
54. 3;ra« — 2;r2»-a^'»-i(5y — 3) -f ^^'•~*y'"~^(7^'~5y"*+i — 3)
(9y* + T?/* — - o) + a?2»-io^2w-2(9^a — 7) ^ 9ir««-^V^'""~^ ^^
3^»+i — rfr«-iy(5y'»-i — 3) + 2a?'»-3y2(y'«-^ -— 3) +
8^»-6y«+2 __ 23^7»-^^'»+» + \èxf- »^"»+*.
55. 52a««6H-2;r6^ 28Ga2''6'-;r*y» en H9Oa«6'^ia?20.
56. ;p« — 1 en ;^?'^ 4- iP* — 2;i?» + ^2 + .F — 2.
57. a;rr* — (2a — 6);r« + (3a — 26 — 2);r2 + (36 + 4)a? — 6 en
a^x^ — 6 >« + 46^ — 4.
58. 3a« — 3a«(6--3) — 2a6»(a — 6 + 3)d? --(4a6«+ 126« — 46>«
en(2a6+66— 26V— («*^ — 62 + 3a + 36)ar + a« + 3a— a6.
59. 12 — 18;r — 26^2 + 4a?« — 2^* + 30;r6 en 30;f -- 15;r« + 5a-«
— \^x^ — \0x^^2hx\
60. Welke factoren van den eersten graad zijn gemeen aan
de volgende twee veeltermen
a* — a»— .4a« — 5a — 3 en 2a*— Sa' — 2a2 — a — 6
35
61. Bepaal door deeling den grootsten gemeenen deeler van'
2^-2 —lxy + Ihx + 6y2 — 24y + 18
en2a?8y + 6;r» — 6a?»y -Sara^^ + Oara— 2;ry--6a?+3y2 + 6y— 9,
KLEINSTE GEMEENE VEELVOUD.
Bepaal het kgv. van de volgende vormen.
1. 4ai; 5a2j2; Qa^bc) Sa^b^cd
2. 15a^b{a^ — b^) ; 28ab\a — b); 636V(a — 6)2
3. 3flé(^— y); ba^{x — yy; 12«3J2(^2 _ ^2). I8a(a? + y)
4. 16a?2— 1; a?a — 9; ara — 6;r + 9
5. 28a«6«c(l + a^y; 60aè«c-(l — ;?*); 63«»è(?^(l — a^y
6. 2fl«; 5*c; 8ab; 20{a — b)iJP
7. 5a2 — 20^*; aa + 4aè2 + 4d*; 3^2 — 12aèa + 12i*
8. a^ — a^ — a+l en a^ — a^ + a — 1
9. a{x + Sy, a\x + S), a\
10. {a — a:y, {a + *)(« — x), {a + by.
11. {a + by, {a + b)(a^' — ab-^b% aa!{a^ — ab + b^).
12. {a - ;.0^ (6 ~y), (* — ^)^ (« ~ ^) (* -y)^
13. 3(a — 1), 2(a— l)a, {a — \y.
14. ;i?« — 5^ + 6, x^ — Qx + 9.
15. ;ra 4- ^ — 2, j:^ — 2x+l.
16. o?" + a: — 2, d?2 — 3^ + 2.
17. ^jT» + 2^ — 120, ^« — 2ar — 80.
18. d?2 — 15a? + 36, a?« — 9;r — 36.
19. ipa — 9ir + 14, a?« — lU + 8.
20. «2 __ ^2. ^2 _ 2«a? + x^ en «» - .r».
21. 2ar + 1 ; 4ira — 1 en 8^» + 1.
22. a^ + a^; a^ -X* en a* + 2fl2;r2 ^ ^4
23. ^r» — 1 ; ;r2 — 16 en x^ — bx + 4.
24. ;!?«— 6;r-f9; a?2 — 9 en a?« — 27.
25. 4x^ + \2x + 9; 4ar« — 9 en 8a?« + 27.
26. {x + ay'y [x — ay en x^ + «».
27. Zoek het kleinste gemeene veelvoud van :
lOa:^ — 21ar + 9, Qx^ — hx-^Q en ^x^ — x—2.
30
28. Wat is het kgv. van mv^ mf^ en mr?
29. Van twee stelkundige vormen is de ggd. Qa^bc^ en het
kgv. \%a%^c^. Bepaal het prodrukt van die twee vormen.
Bepaal het kgv in de volgende gevallen
30. x^ — y^, x^ — ^y+^S x^ + xy-\-y^.
31. {x—j/Yy ;r8— y».
32. {x + ^)\ x^^21,
33. \x — a){a — h), (x — b){b—a).
34. \a — b)(a — c\ {b — a) {b — c\ {c—a) (c — b).
35. abc, a[a — b)[a — c), b[b — a) [b — c).
36. [a — b){a — c) [x — a), {b — a){b — c) [x — b\ (c — a)
[c ^b){x — c).
37. Bepaal bij de volgende deeling het kgv. der drie aftrekkers.
2 — Aa — 5a^)10 — IQa — S9a^ -^ 2a^ + \ba^(b + 2a — Sa^
li) — 20a — 2ba^
' ia^iia^ + 2a«
4a — 8a ^ — IQq»
=^^^^Ta2~+T2a8 + 15^4
38. Bepaal het kgv. van elk der volgende gevallen
2AaH^x\ eOa^'^x^, 45*''-2;r^ 3öxY> 30a^-3*«+2^» e^
72a^"'-^xy^zK
39. STa'^+^è^-P, Iba'^x'-z^ Sldb^'^x'^^, 27bx^y\ 72ba^-*'b^''-^~h*
en 14ba*'~^Px^^y'^z^, als r grooter is dan 2.
40. 3;r8 -- bx' + bx—2,2x^ + x^ — x + 3, 6x^ —x^-llx-^ö.
41. x^ — bx^+9x—9,x^—x ^ — 9x + 9, X* — ix^ -{- 12x — 9.
42. 2x^ — 7x^y + l3;r2/2 — 5y«, Sx^—Sx^ + \2xy^ + 5y».
43. 2x^ + x'^y — xy^ + 3y^ 4cX^ + 12;^^^ + llxy^ + 3^».
44. (4ir^ — 1), {2x^ — bx + 2), (3.r2 + 7^ + 2), (^-^ + x —6),
(3^2 — I0;r + 3), {x^ + 2;r2 — 9.r — 18), {x^ — 4) en (;r«
+ bx + 6).
37
45. {x^ — 1), {x^ — 1), {x^ — 2;r* + 2x^ — 2x^ + ïx —\\ (x^
+ 2x> + 2ar» + 24?^ + 2;r + 1), (^r*^ + 1), [x — 1), (a? — 1) en
{x^-^-x^ — x— 1).
46. (a?» — 1), (;ir3» + ^» — iP« — 1), (;r» + 1), (ar^» — ii^—x''^-\\
\^n _ 1) en (rf?3» +2;?r« + 1).
47. (V + 4;r« + 16), (;r8 — 2a?-h4), (;r»--2^* + 4;r8— 8a?2+16iF
— 32), {x^ + 8), (;r* — 2^» + 8;r -- 16), (ar* + 2;r» — 8a?— 16),
(ar — 2), (ar2 — 4), (a?*^ 4- 2ar* + 40?» + Sar» + 16ar + 32) en
{x + 2).
48. 2ar* + 3ar» — 12ar« + 36ar — 35 en 6ar8 _ 5^2 + 15^^ 4- 14.
49. Van twee stelk. vormen is het produkt 21a^hH\p — q)^^
en het kgv^ ^a^h^c{p — y)^ Bepaal den ggd. dier twee
stelkundige vormen.
Bepaal het kgv. van de volgende vormen :
50. ar* — jöar^ + (5' — l)ar*4-jöar — 5'enar* — qx^-\-{p — V)x^-^rqx — -p.
51. jö(jö + l)ar2+ar— /(jö— 1) en jö(jö + 2)a?2 + 2ar —jö» + 1.
52. (a« — 5a + 6)ar2 _|_ 2(0 _ 1);^ _ a{a + 1) en a{a — 3)ar2+ i2ar
— (a+1) (a + 4).
53. ar^^ + i + ara^+ar^^^-i + enz. +i2?^ +a? + l, ar^» + 1 — ar^+ a?»» - ^
— enz. — x^-\-x — 1.
54. ara-'i + ar^^-^^ + ar^^-s^a-f enz.+ar/»-2+/»-i, ar»»-!
— ;p3» — 2y _|. ^n — 8^2 — gjj2. +ary»'*~» y2» — 1
55. Bepaal bij de volgende vermenigvuldiging het kgv. van
het produkt en de drie gedeeltelijke produkten.
x'^ — 2ary + 3y 2
x^ ^-2xy — 3^2
x^ — 2ar»y + 3ar2y 2
+ 2ar*y — 4a7*y» + 6ary^
— 3ar2y* _|. g^8 — 9^4
;P* — 4ar2t/« + 12ar^» — 9y*
38
HERLEIDING VAN BfiEÜKEN.
1. Vereenvoudig de volgende breuk
{a — b) (a 4- è + c) (fl + J — c)
2a^b^ + 2a^c^ + 2h^c^ — a^ — b^^ cK
' n obx^ + a^x^ + aby^ + b^xy
abx^ -h a^xy — aby^ — b'^x/
q 1 — 0?^ + lx{x — 1) (1 — ;f 4- x^Y
{a^h + cy-^ [a^b--cY
2a{b^ + 2bc~^^)
g (a — c) (ac — &«) + (^ — c) { ab — c«)
(« -_ c) (a — è) + (i — ~^a
g {2x—y — zY^[2i/-^z — xY^[2z — x^tfY
{y — zY^-iz — xY-^i^ — yY
' 7 (g — è) ( g + & + C) (fl + & — r)
' 2{a^^ + a'^c^"^ b'c^) — (a* + ^* + c*)'
8. (2 j^-^ — ■^)^-(2^-^ -y)°
(-2 — ;r)^^— (.r — ^)« ' * ^
9. Herleid de onechte breuk
6^^— \lx* — 9^' + 22;r ^ + 3x — 2
Sx^^2x—\~'
tot een gemengd algebraïsch getal.
10. Bepaal de waarde van =- „ . ^^ als a = 4,
J = 0,5 en (? = 1.
11. Welk verband moet er tusschen a, b, c en d bestaan,
opdat onafhankelijk zij van x?
12. Welk verband moet er tusschen a, b, c, d,een f bestaan,
opdat •^ — > onafhankelijk zij van x en van y ?
13. Kan die breuk afhankelijk zijn van x en onafhankelijk van ƒ ?
14. Vereenvoudig de breuk
39
15. Laat zien dat
j— _ — ^ -_i — = \2j' — 25 +
5^8 4- 9^. _ 2 X -\- 2
16. Vereenvoudig j^2/_^-^^^;^^-,
17 ir* — 2;r2_+J_ , « « + »( l +^)j/ +j^2
• 3;r« — TÖ./ > + 15;r - 8* fl* — y«
1 — (»J + l);r'« + ;«;r'« + i
19.
20.
(1 — ;r)a
9a?8 + 53;r2 — 9^— 18
^« + lliT + 30
21 2a?« + ar» — 83? + 5 22 2;r« + 3^« + :p
7^2 — 12/+ 5 * • ir'* — ar» — 2i*
23. Tot welke waarde nadert -, als a^ 'tot 1 nadert?
X — 1
24. Tot welke waarde nadert de breuk
o^8 A^
— -, als a? tot 2 nadert?
X — 2
25. Wat is de waarde, tot welke
-2 nadert, als :r tot 1 nadert?
X* — 1
26. Waartoe nadert — ~^,'^ — ï^ als b tot a nadert?
a^ + ab — '2b^
27. Wanneer van eenige breuken ^, ^, ^-, ^-,
qi q2 gz qn
de tellers willekeurig maar de noemers alle positief of
alle negatief zijn, en men dan de som der tellers door de
som der noemers deelt, waardoor de nieuwe breuk
Pi +iP2 +pz+ A
?1 +?2+?8 4- qn
ontstaat, zal deze breuk grooter dan de kleinste en kleiner
dan de grootste der gegeven breuken zijn. Bewijs dit.
(Men zie voor de wijze om dit vraagstuk op te lossea
§ 191 — § 193 van deel III mijner Rekenkunde),
40
Vereenvoudig de volgende breuken :
„g a« — a'é — «6' — 2è» „o ^' — 5 -^' +7^.-3
30.
y^\M _
^8^ 3^2^.^ 3^^2 + 20»* '• ar» — 3^ + 2
^8 .^ 2a' — 13a + 10 «i 2^^-h5^'y — 3Qj?y«4 -27y»
a« + a' — 10a + 8 * ' 4:r« + bxy^ — 21^» *
32 ^^' + 12a ^^ — a<^^-- 15^> ^g 1 +^^+ .f8_-f2^"
Q. ;ra — 2 ^ + 1 oc 3a« — 3a^^ + aö^ — ^»
• Sx^ + 7^— "TÖ* ' "4^_5aè+T«~
gg 4a?» + 3a;r' + g° 37 4u?» — lU^-g + 4; g -i- 2
iM^ö^H^V' +a** ■ 3^* — 2x^ — 3^ + 2'
gg I6a?^— 72j?' a g + 8Ia* gg 6^» + ^' — 5^ — 2
4a?2 + 12a^"+9a2 ' ' 6d?« + 5^«— 3!^^=^'
40 5^« + 2x^ — 15;g — 6 . 4;g^ 4- 11^^ + 25
• 7x^ — ix^ — 2U-^l2' ' 4^ï^r9^:2-:fr307^"25*
.o Sa^^ —27ax^ + 78a';g— 72g« a^» — 5a';g'— 99a«a:+ 40fl^^
• 2^+ lOax^ — 4a2;r— 48a»* c/-*-^6^;^8=86^VH^^35^*
44. Aan welke voorwaarden moeken de coëflBcienten voldoen,
ztdlen de waarden der volgende breuken onafhankelijk zgn
van iT en y.
ax^ -\- biT + c
A^+B7+C
ax^ -f- bxy + gyg + <^d: + ^y ^ f
^g 9a:^ + 30ar« + 25
27a:« + 135;p^ + 225^2 -i-l25*
^g 175a« — 210<g'a: + 63a;gg
• 125«« — 22ha'x + 135a^2 _ 27^8*
47 ^^ + (g + ^ + g)^ + (fl^ + h)c
a^ -ir 2ab -{- h^ — x^
jLQ x^ + (^ — c — a)x — {h — c)a
x^ — b^-\- 2^^-^ *
49 ^^M- (^<? — ab — ac)x + aèc — b^c
hc^ — 2abc^ + aH^ — a'^x^ '
\
41
KQ ijc^ — CiV^ — {ab — c^)x — c^ + abc
c* — 2abc^ + a'b^ — d?* '
51 ^^^g — ^ °g + 2è2(;3 _ èc»
g2 < a^^ — 3fl6 + ac + 2i« — 2bc
a« — è» — c^ + 2^ê '
53 g' + 6" + g^ + 2a^ + 2ag + 2bc
a^ — b^ — c^— 2bc *
54 10^-H15a — 20^ — I4(;)^— 2lac + 28bc
4^2 — 9^2 + 24ai^^- 16^2-
5g 4arg + (4é — 5c -- 3(3^) 2^ — 3^(46 —^oc)
4a^^ — 16èM^4"0dc — 25ë^ *
57 ;g^ + (2g + b)x^ + (2^ + g)g^ — (^ + ^)y' + g'^
4üj2^2 ^^2 ^2 4-y2^2
58 ^^^ + 5a + 2 .Q 6^^ — lla?'y — 10y«
3a + 3 . * 21;r8 + 14^y
60 8^^ — 8;r2 — 6 g. 1 0a' -- 29<a^g + 2U^
10a?2— i5~* • 18a^x — 27a^x^ '
g2 ^^ + 2a? V + 2xY — ^^ — y'
d?« + 3x^^ + 5d?»5^2 + 2;r2y» — 2x^* — 3^«*
g3 gs — g^è + 2a«i« — 6a^^ + ab^— 21b ^
OPTELLING EN AFTREKKING VAN BREUKEN.
^ g — 26 8ig + 15dar / 9d — 8c 2 + 3g \
5;r + 20c;p \ 12c + ~3~/ ~
2«» m^ — n fi + 2 3
n mn mm
3 1 2x 1 X _J
' 4a: + 4 a?2+3a?+2 +7T2 3^« — 12 "*" d-— 2 ""
4. 3 + ;.+ ^ =
5 ?-_?? Zf *^ ^^'_
' y 3y "^^^ + 7~2^~
42
6.
7.
8.
9,
10.
11.
12.
13.
14.
£_5 2_/5_
16
+
12 ^
«» + 4a''
4a — 3
) =
3(a + l) "^5(^ — 1) {a + iy
Als ^^^ = -^^ = ^_IL_?, bewijs dan dat a = b = c.
o c a
Als j-^ = -S— = _?!_. is jö + g- + r = 0. Bewijs dit.
o — c c — a a — o
a — x +
X'
a -\- X
1 —2x+x^ +
l—x''
l+2x + x^
amia + »^) — =
a — m-\- n+ ■ ■ =
a
Voecc samen , en en laat zien, dat wan-
^ a+lb+1 c+1
neer de som gelijk is aan 1, ook abc = a + b + c + 2.
112 X
15. ± —
X
+
16.
17.
18.
19.
20.
{x + iy x + i^i+x+x^'
a _ {a^ — b^)x a{a^ — i>'
^8
+
b^{b + ax)
x{x + a){x + 2a) x{x + a) {2x + d)
Sa
6a
L/_i L\--
b \a — b a-\- 2b) a
^^ab — 2^3*
+
4:W
X — 1 ir 4- 1
\-\- X 1 X
+
a?2 — d?+ 1*
1 + a? + a?2
— 1 —
21.
1 — ^ "^ r+ ir * 1 — a?«
1— ar + ^' 2ig^
1 + ir« ■*" (1 + ^) (1 + ^0
3 -f- 4^ ^ 2^« 1 — 2^ 2 — 3^
20^ + 16^^ ■*" 16^2 25
5 _ 72,5^ + 22^^ — 48^^
625 — 400^2
1 — 2^ + 3«g«
25^ — 20^*
43
22 5 — 33? 4 + 2^ — 7^« 5 — 4tx^ 9 — 12.r + 15^«
'2 — 3^ (2 + 3^)« +(2— 3^)2 + " 4 — 9^«
(1 + x)^ ■*" (1 + ar)»-i "~ (1 + ^)"^ ■*"
2 + 3^ 3(1 — 2x)
(1+^)»-»"'" (l+.r)«-^
24 1 + ^' + 63?« + 43?* 1_ 1 — 23? — Sx^
3?« + 23?* + 3?* 3? + 1 "*" 3?» + 3?»
25 ^V-g' (3?« — 6«)(j^« — &')(^2_ 62)
(^a _ ga) (j^a — ga) (^2 _ ^2) _
C%c^ — b^)
26. Als a + b + c = 2^, bewijs dan dat
1111 abc
s — a s — b s — c 8 s{s — a){8 — è) (« — c)'
27. r i^. + 71 4i .-\-.- ^
[a — b){a — c)^ {b — c) {b — a)^{c— a) {c — b)'
28. —. -f- 1-
{a — b){a—c) ^ (b — c) {b — a) ^ {c — a) {c—b)'
29. - ƒ -+ *" + '"
{a — b){a — c)'^{b—c) {b — a)'^{c — a){c — b)'
of\ ^' b* c'
(a _i) {a — c)^ {b — c) {b —a) '^ {c — a) {c—b)'
a{b + c) b{a + c) c{a + b)
(«_ è) {c -a)'^ (« — *) (^ — c) (c— «) {b — c) '
d5(a — i) (a _c) ^ b{b— c) {h — a)'^ c{c — a){c— b)'
00 io ca . ab
a{a*—i*) («»— c») ^ i(è«— c") (*«—««) ' c{e'—a*) (c^—b*)
34 (J — é)(a'-— c) (ar — c) (iT — a) (jr— a)(d- — é)
■ (a— è)(a — c)'^(è — c)(è — a)"^(c — a)(c— *)■
nc éc(a + d) ca{b + /;?) ai(c + d)
' {a — b) {a—c) "^ {b — e) (6 — a) "^ (c— a) (c — h)'
og 1 1 1
■ (a— é)(a— <?)(ar— a) "*■ {b—c){b—a) {x—b) "^ (c— «) (c— i) (ar- ü)'
/r' /^' A>
37. ,,, " ^, ^+r^ — w/ x/ j_M +
(a_ j)(<, _c)(a;+ a)^ (*— c)(*— a)(*+i)^ (c— a)(c— i)(a;+c)*
44
38.
39.
40.
41.
42.
[8
43.
(a + b)ia + c) {b +c){b + a) je + a) {e + b)
[a — b)(a — cy [b—c){b — a)^{c — a) (e — b)'
a*{b — <•) + 6'(c — a) + c^a — b)
(è _c)» + (c — a)» + (a — i)»
a>{b — c) + b\c — a) + c%a — b) + 2{a — b) {b — c){c — a)
(J _ c)» + (c — a)» + (« — *)•
a»{b — e) + è'(c —a)+ c'ja — b)
a\b — c) + b\e ~ a) +c«(« — *)'
ai{J, — c)« + b\c — a)» + c*{c — é)»
(a — i){b — c) [c — a)
\(b-c)-\r\{o — a)+^{a-b)
44.
45.
46.
47.
i /I _ 1\ + 1 (1 _ lU i (1 - M
bc\ c b f ea\ a c / ab\ b al
Als » = a + b + c + ....tot n termen, bewgs dan dat
-b , ê-c- /l , 1 , 1 , \
c \a o c I
Als 5 = — ■— = -., is X — y + ^ = 0. Bewns dit.
b -\- c e -\-a a — o
a s
- + -
+
a» + 2a^i + aè» a«S — 5» a» + 3a»i + Sa*" + b"
1 1 1
48.
a* + a^è
1
+
ab^ _ è» a^'ó — 2a6» + è" + 6*'
1 1
+
a» + 2a»6 + ab* a^b -
_ l 1
rt» + a% + ai» — 6» a»& — 2a6« + b*'
b'^ a* — 3a*5 + 3a5»
1
6»
49.
1
l
+
a» + 2a''é + aè« a*b — b* a* — Sa'b +■ 3a*« — b*
_ 1 a»
a^'+a^ a» — 3a*è« + 3a»i* — b*
45
(«2 — 2ab + h^Y'
*iO ^^ + 8iF + 15 ^ — 1
51.
a.2 + 7a? + 10 ;r + 2
iP* — hax + 6^2 ^ — Ta
x^ — 9fax + I5a* X — ha
52. Als * = ö + 6 + (?+... tot» termen, bewijs dan dat
s — as — 6 , ^
h +...== ^ — 1.
S 8
VERMENIGVULDIGING VAN BREUKEN.
1. Vermenigvuldig : a — o + — -^ met a — -— -.
a + o a* + 0^
a-a — 1 j^» — 1
.2. H*id t_^ X i^ X {. + ré-J
8. (i±/y_to)'. 4.(I + i)x"-
\x - yj \x -T yl \a of a
a + h^ iab
X :
^2 _ (} _ g)a ^a_(g — g)2 c2 — (a — i)
• (aJrcy — b^^{a->rhy—~c^^{h-\-cY^^^^li^'
6. Bepaal het vierkant van -r- + — + 1.
o a
a^ — h^^c^ — 2bc abc
"• -r-T—z-^T-. X
^ ^h^^ a — b
2
ah + ac -\-bc a* + i' + c^ — 3aèc
a^ + i* + c^ — ah — bc — ac
X
a« — i« + c^ T- 2flc
8. Bewgs dat U — 1\' = ^ « + 1 — ö/a* + ^)
e-'.)
+ 15^^'+.o -20.
[x — a) \x^ + (2 + ^a)x + Gal ^a — ^2
(.r — (?) {^2 ^ 7^-p 4. 6a 2| >^ ^a ^ (2 — (j).r"^=^'
11 3.r— 1 2a? — 3
2a?2 — 1 la* + 12 ^ 9a?2 —79^ 4. 2*
46
..n «* — lÓa? + 54 «* hx X^ + biü — 14
i3.(^-i)(ïé>->).(f;-o(4^ÏF.-0-
15. Herleid « + «* + *=■(«+ ab + b* j^)-
16. Vermenigvuldig // + |-V^» + -^W/— ^V
.17- ««'^^^^'^ 1 2K^) ~2(^n) + ^^i^ \-2r-
18. Bepaal de waarde van ( ^ ^ 1 — — ^^ i-, als a? == 'T - »
21. 3y» I ^ - ^ + ^^"^ 1 — ^ =
"^ [2 2ar + 3y |2ar— 3j^
\c "•" J» "*" 6/ W d . ad)
l+2ar
2 4 16
+ --7 —
a-« 1 + 2d-
] =
47
07 / ü 3d; „ \ lx* 2x* Sx\
28 Z.trrf ^ 8|— ag _
f+ar*2a- — 3* 1— ^a;
2x* + ISa'^g» — 2a»a; — a* a' + haa;'\ a—x_
' (a« — «»)» + (a+ar)» | ' ö+^ "^
29.
30.
31
32.
[l+x'^ l—x*\ Y I
fa» — aé' 4- b» b "j | «' — 2a6 + 26' 6_1 _
(a — è)« a^^ I ' [ a^—ab + b' ~a\ ~
3o. Als »^ = ^^p = ^. ,ö'= ,^ = >* =
en ^ = , vraagt men te bewijzen
(1 + «») (1 +JB) (1 + ï) (1 + r) (1 + «) (1+ <)
= (l-«»)(l-J»)(l-?)(l-r)(l-*)(l-<).
34. i±±^ . (1±4! = 35. («« + 6«)". (a- - *•)« =
36 f -— — '^'^* '^"^^ 1 ^
[5»+' a^»~ "*" «»+» J ■ a»
r ar" — 3 ** 1 / a'"'"*^
LSa;»— 2a;»-'' — a:»-* ~ «« — ij \ 3"/ ~
37.
38.
Löar~ — isar" " — ar" * ;r» — ij \ óf
r y^ + 2 j^an ^ ^n ^ 1 1 ^21» __ yn _ 30
[ya«+ 9y»4- 20 "*" y** — 2y» + 24] y»« + 7^*« + 2j^« — T
OQ, l h 14 26 20;p 13a?2 ^8\/« «"* «'\
^^- fe + ^ + ^ + -ï^ + — + ^^ )U + ^+-ïir)-
40 [— ^^"""^ 3fl«2l_ 4a«-« 1 r ö* _ 2^2 ^]
I.. ;
48
41. 4-^ + 5^ — 7^"" + 3a.V" + y^y^l
L 5 y*» ^ 3y2« ^ 5 '^ J
L 6 ^'« 4 ^''^ "^ 2 iT»"» I
DEELING VAN BREUKEN.
4
1. Herleid — |- -[ — - —
a ^ a-hl ^ « + 2 j _^ 1
a
/2Lr» _ l^j \ . ?f = /^^ _ ^^f^^\ . 2«« .__
Sa" _ 5aé — 1 2è«
a b , c j
10. Vereen voudiff-7 en laat zien dat deze
^0 . c , « I
abc
uitdrukking gelijk is aan <^ — ^) + (^ ~ ^) (^ ~ g) ^k
' 2s = a+b-\-c.
49
"• ^ 1^7^ = ^:::^, bewijs dan dat ^1^ — - — -—=abcd.
a o c d
12.
te herleiden.
1 —
1
1
a + x
1 !r + « 1
13. i-^- IQ ^ «+^
1 + i^ « «
1 — •» - b a+b
x—\
!*• i — 20. ^-7-i r-
1— 1 _1
^1 + « « — 1 X
a+x-^-t^ 1-?*,*J
15. IpL.. 21 2__2
a
^
^ — 5 — -S^ ö^a + ^2 + ^
16. Q . .. ' 22. —
a-rx — • 1 — I — -— I
jy a^ — ax-\-x^ 2g \a + b)
a+iP— — , . /« — ^\
18. ^^^— L- 24.
(±±J\ h — K
\a — h) \a + b)
la±b\^ / a — b y
[a-^bj ~\a + b)
X — a
25.
J- x^ -\- a^ X x^ -\- «2
X_ ___ ^ + ^ "^T" a — x~
a «2 + ^2 ~ci^ — a'^ -\- x^
/ a + j; a — x \. /a' + x* a* — jr* \
\a* — ax -k- X* a» + iw + ar"/ ' \a' — x* a' + x' J
x—1 , x—1 x+J
3 '^^ — 2 7
«+ 2^«+2 ■ «—2 » — 2
28.
Deel, \-*' + l''tl^' .door
21 — 35»— 71»>+l&i:'
29.
90
« „ , 3 9 j;' + «■
2-'' + 2i-7.
Tiiïiif Tirn dut 1 -^ i ^ i ^ .4a*
i + i^ ' i-i^ ' i+jiL. •'-'
31.
Yenne„ig,„ldig .^(^^^.„.^et
ll+a4 + («+6)i(
(1 + «J) |1 + »J + (o + «H - (o + 4) 1» + J + (1 + oJ)»|
2. Onderzoek of de volgende ver^elykiiig identiek is
/._+»\-. i._+_t\-. l._+A-^
V + al V + fi V + il
(«■ — 4S')' : (« — 2i)". 35.
(36i« — 25i,')' : (6» + 6j,')'. 37.
(»■ -*■)-:(« + 4)-.
/ 2«' + M + 2i' y- , r«(2£_+S)]«
\ 3« + « / ' [ 3«+4i I
(«■ - 4S')' : (« - 2i)-. 35. (.«> - «-; (. + i)-.
(S&c' — 25i,')' : (6» + 6j,')'. 37. f«- + 2« + 1)- : (o + l^
(»■ -*■)-:(« + 4)-.
51
41
•(
2^2 +2ab+b
4- b'
+
) ' \Sa — b) ' \Sa + b)
42. (aT«-a + d?«y* + 10a?»»+» + 8;r'«+*t/") :
: (a:«-* — 2^"*-'y* + 4^«-2y* — 6^"*-^y« + 8;p'«y^).
44.
45.
47.
[
: \a
o?"
+
3a
m
X'
+
lla«+4 4a'*+«
X
8
2a«— ^ 3a"» -2
X X
1 l.r«_ 157;r2«
1^ ' öii
6m
60a
: r 1 _ •^"
L 5dt ''" 4a ^"^
360a«"»
2n
+
4a'"
x^
7x^
\2a^
X'
1
]
+
7x
én
12«
f»
— ^««1 :
jr
+ :
óa
m
-2j
46. [ / 7^' + <>fl^ 8^^' — m<^
f
45^2 — 20a2 b4:x^ — 72ax + 24a2
/ 13|K — 4jV^ 2 __^ 20A^-llHi?
- — 40a« 18;^^
{6ax + 2a2)2 + 12a^
(bx — 2|a)8 — -|a2(16a? — 34|^a)
)^
\ i35j:3 _ 40^8 18;^^ — 8a2 + 9^: + 6a/ J
(
6(i^x — 19,2a
+
8
50a« — 2000! + 2x^^l5a — Sx
(10a;» —6aa;y+ 20x'{Sa + bx)
• (5« — f;e)» — ii»»(15a — 2|«)
5
+
4a+ 107^1*
75a
vl07JJ^\
' — Sa:*)
*°- \27a»— Ib'ao; f 3
3a+4|fg
45a « — 5««
)
3;f2 ' 15öj — ^x
{Sax — 4^^)2+a?»(12a -- x)
' (3a2 — %axy — -la»;r2(9a — 2f;2?)
AQ ( ISj^— 13i^ ■ 7 3a+10jf;g
*^- \^48a2 — 1 20a;r + 75^^ + 20a — 2bx SOa» — 1 2bx^
(3a — l^;g)» + ^2(59a + 2|fg)
' (8a -- llxYx^' — x^{21x ■- 16a)
)
1
52
r T^ 17a;* 31.*»_14«» 199.r _ 823 Ully* _
50. ^ — 2lp'''2V ^"*'''120y« 480 "^ 2520.r
43%* 3V"| .
. r ar» _ 3£» 5a^ _ ^ , V _ IJl! + i%' 1
■ [2p 4y* 6y» 8 10a; 12a;« 14a;»J'
^i- [^''-^^ + V-~V- + ^^^~V"~^^|•
l „ .ir»? ar»?l
|a;" + *_^H-2 ^ a^-^ a;»-*_a!''-«1.
[~» ^n-2 j;»-* a;»-« 1
)r390625OT«a;« _ 2b6a^] . [625^ lOaOl .
^'*- |["656ï^^ 65616»! ' [ 81»*^* "^ 816*Jf "
\2bm^ 4a' "1.
["9«y 96^1
^(11 i_ i_ , JLl • I J_ i-l
■iL729arf'" Ï296a-8 2304a-* "^ 4096J ' L 9** 16
3^'
55. Bereken x uit elk der volgende vergelijkingen.
1 4- - 7 — —
^+ 12
56. Bereken x en y uit de volgende 2 verg.
48 + Uy _ 16a;^ + 12a;y - 8a- + 5y + 28 (a^.o,.
g ^- 8a;2— 1%2+108 , „
Sa- + 4 = , ,■ T ö • + %
4a; + by + 3
53
11 /«+ iV la—h\^
+
^„ a-\-x a — X
57. -n ., 58.
a-\' X a — X
\a — b) \a+ bl
gg ia{a^ — a^) . l a^ — ax a^ + 2ax -\- x^ ^
• 3i(ca _ ^8) • \hc + hx^ c^ — 2cx + x^\ '
60. (x' + 6x^8-^-^\:lSx + 12 — -^\
\ X — 0/ \ X — 6/
61. Deel x^ + ~~~.+ x^ + \ + x^ + — -\-2 door den Yorm
x^ x^ x^
X^ X
62 / ^^ 4 16 \ . / 3^ 1 \
\3;r + 4 + 3a? — 4 9a?2 — 16/ \9a?2 — 16 + 3ar+ 4/
63. ,y~ 1 "^ X -.=K- ö4. — i-j--
1 + 1 y' — ^' 3+ *
3+i
y X ^ 1" ^
65. — 66.
^+-^ 1+ ^
0?+- 1 +
X 1 — o?
67. L^ . 68. —
X+1+ 1 ^^__ 1+ ^
X—1+ — ?— ^ 1 — 0? +
X
X + l \ JI^X'\-X^
69. f_+2 7Q^ 1 1
1 — o? + X X +
2 — x+ — x-r — X — —
X XX
71. f±l:[a^- £_| 72. ±{a^-b%
yz-\- \ \ Il . a
54
73. Los X op uit ^ —
^ 12
1 +
1 +
? I 7(^ + ^)
^ a- — (2« + i)
2a — 3 o
-3
74. Los op 'L- + 5 = 11^ - ^
4 4;r 4a^
75. Los ^ en t/ op uit 21ir + 11^= 207, en
h — ly-\-x ___ S x — ^ — 7 bx — Sy + 4:
6 4 "^ 3^ — 4v + 5
7 + 5.y— 4;r 31?/ — 9;r — 51
"3 Ï2
76. Los a; en y op uit 23j? — 27iv = 26 en
bar — 3y + 7 _ 2y + 7.r — 1 j _ 6.r — 5y + 1
9 12 ü^/ — 7a-— 8
= ^ . LL^_irJ.^_ +_?? _ 23.r + 8y — 15
3+ 18" 36
77. Herleid — ^ * ^
z
\ \ X u
«^^ ,. ö^ — X a^y (a — x)^ (a — y)^
78. Vereenvoudig j—^^ ^^ — p ^^•
70 I ^* — ^* ^^r^+fl^l \:r5 — a^x^ 1 x a\
\x^—2ax-ha^' x — a\^ x^ + a^ ' \~a~ ^j'
80.
a^ — X'
('-:)■(•--:)
8
a^ + ax + x^ ' a^ — x^
1 y a — h a — b
o + a
R, ) \+ah \—ab \ . U b\
Il {a-h)b j _a{a—h)\ ' \h ^ «/•
1 +«5 ' 1 — ai
a?a+y'
55
X o
Qo _j:^ w "^ — ^ \ 4 / 1
L \9d?« — Tö^a ~ 9ar2 _ 24^^ + 16^2 + 3^ + 4a/
/ 1 2;y4-5a _ 2^-^ — 5^;^ \]
\21ar— 28a ~ 63^«— 112aa~ 27;r» + 64^7 |*
r (3^ — 4a)» — ^x\\hx — 62a) — 16^^(16^ — Zo)
L(^* 4- 21aa)a 4- 'lx\x'' — 37ax + i55a^) — a\l6x+Ula)
{3ax + ia^y — Söa^x l
lSx^ — 20ax^ J
85 r/ 4;gg — 8aa? llx^ — 2\ax hx — 2a \ .
L\95?2— 16a2 — 9^2 __ 24a;rTi6a2 "^ 3^T^/
/ 3 4:X-\-^a 4:x^ + 5 a;r V\
\2lx — 28a ~ 6Sx'— l[2a^ ~~ 27;f» + 64avJ'
r (5;g — 3a) « — ^a( 1 64^ — 1 99a) + ^"(49^ + 75a)
[{3x^ + 46a2)2 — 3;r V + 61a) — 4:a\8x^ + Bad? + 529a«)
. (3a;p 4- 4:a^y — 36a»;r "[
Los de 2 onbekenden op uit elk der volgende stellen
vergelijkingen :
86. 8-t + 72i._7g I 432^- 125_^
1 — y 3a- + 5
30 --j^98y 121 — 2SU ^ jgK
Sy—i' ■*■ 1— a-
87. 2 + 6.+ %=27sJ-12|?:^J8
^ Sy—2x+l
g _ 16 + 60;y _ 16^ — 107
88. =— ? i^ =fl8_J« _JL_ +_Jf_ +2 = a'' + **
i«_l «»_1 'a2 + l^j» + l^
56
89. 3;. + 5^ = {Sb-2a^
U ' tv
b^x — -^^ + {a + b + c)ay = a^x + {2a + b)ab
« + o
lm — ax = -5- — -^ — (a + o) 4- - ,
HERLEIDING VAN WORTELVORMEN .
3. 3.^(8«» - 32«3J*) 4. l/-(«^" - ^')
K Xy^l^* I6a'c'\ f. -■i»/27(l — 16a!>«
^- ''V [mi-^'UW) ^' ^y 125(1 + 2x)a*
7.
y-x
9n+öy2» — 1
8. Herleid '/(«« — *")' (a + *)» (a — 4)» ;
V(«« — *»)(«« + oö + *')"; ^(250»** + 49a«c»);
en l/(25a«é* + 49a«c'' — 70a*S»c).
OPTELLING EN AFTREKKING VAN WORTEL-
VORMEN.
1. Herleid 3^5 — 4^5 + 61^5 — 2V5
2. dS/'h — hbi^a + &aVh — ^hi^a — 2aVb + Sbfi'a
3. Vl2a*b + VlWx^ — Vl92é»>»*
4. 3K578 — 1/338 + 4K242
5. 41/147 + 5V/48 — 2^3 — 5^432
6. 3i»^108 + 2^40 — ^500 — ^256
7. V9ax* — {a — hx)Vax + Via*x
8. K18«»J» ± |/50a»è»
9 A !//'«*"■'"'?*'" ai>iV'a*»+>"
57
2» 4-1
2^ P V 9nA2n/y8n+l OA2^2 K QÏ
11. (a + è)2l/ra__J)_l/-(a_J)ö.
12. (^2 +y^)l/'(^ +y)« (x -^y — V{x^ — y^)\
13. l/4(a — è)' + V9a\a — S) + ^(^^eaèa _ 36*8).
14. xyi^{2^x — 16^) + l^(81a?* — 54;^^)
15. |jk(;p _ y)«-i + _J_ i^(a? +y)»(^ _^)«4-i + |/^_y!_. .
X '1/ X — y
16. (1 — ;r){^(l — ;r2) (1 _ ^2)2n-i + (14-0^) ^(1 + ^)a»+i
— v'■(l+^)(l+^')'"•
VERMENIGVÜLDIGING VAN WORTELVORMEN.
1. Breng bij de volgende vormen de factoren, die vóór het
wortelteeken staan, er onder.
^^^^ Vp, amVZ-f-- , a^^^l^ix — a^),
1 /" 1 ab^c^i*/' x^^~*
{a + l)y — en — - 1/
2. Herleid al/"- X dVbc en ^6 X 1^3 X Vi
^ c
3. Schrijf als éen wortel : Kf X l^i X ^2 X^i
4. Herleid K32 X (K2 + y8)
5. (4i^i + 1^9 — 2i^2f — 3i^^2) X 2i^3
6. (K3 + K2) X (K3 — K2)
7. (_5 + l/|)X(— 5-K|)
8. (31/7 — 1/11) X (1^11 + 1^7)
9. lfya^ + i^ab + l^b^)X{^a — lf^b)
10. {a — Vab + b)X{Va + Vb)
11. (2V/ H + ^H) X (31/45 — 71/5)
12. («i/|-»i/-:)x(«i/'^**i/-:)
13. ,»^a.xl/^X^
8
58
15. Vermenigvuldig aV{l — b^) + bV{l — a^) met
aV{l — b^) — bV{l—a^).
16. {a + ^m + V{\m^ — c)\ x\a + \m — V{\m^ — é)\
17. Substitueer x = ^(3 — K3) in den vorm
Ihx^ — 265;r2 + 228;^ — 42.
18. Ontbind in factoren :
a^ + a\V{b -{■€) — V{b — c)] — V{b^ — c^).
DEELING VAN WORTEJi VORMEN.
13
1. {x^ — 2iyxY — ix^^^xY + 2yK^) : {Vx — ^y)
2. («a_8a*4-7d2)l/« : jï^a— ^[
3. Herleid: r4-K2lWfF6
4. Vereenvoudig : 2. - ^^V- + ^V- -Jb^ \\''=^
5. Verdr^f de wortelteekens uit den noemer van
VS —^3'
6. VereenTOudig 6^ + 5^*^^- 13^^^-%'- 13j^ ±j.
7. Deel 1>'(2«" — ai + 2ac — 6J« + » 7Sc — 120") door
l>'(2a + 3i —4c)
8. Bereken ^, j^ en ^ uit de volgende vergelijkingen
3d-l/5 + 2i^K2 — ^Kl O = 9
5a;V2 — 2yK5 — 3^ =0
2a;KlO — 3y + ^K5 =121/2
9. Herleid '"^^ - ;_^^..
10. Bepaal tot in 6 decimalen de waarde van
^ + n + V"24 - Vl\.
11. Herleid ^^^^
6^2 —2 1/5'
59
V2
12. Herleid ^— „ ^
1 + 21/2— I/'S
13. Deel 100 door i^7 + ^ — 3.
14. Deel r^'^ + y' door x — ^ — y.
15. Bewijs dat uit de gelijkheid der breuken
a ai Oi „^1^
a «1 «2 l/"(a^ -{■ 0,1^ -\- ci2^ + )
16. Herleid ^ ~ ^^ )^ /, r? ~ l ~~ ^ door uitdeeler
n^ — '6n + (n^ — \)V{^^ — 4) + 2
en deeltal zooveel factoren weg teUaten als mogelijk is.
17. Vereenvoudig: ^ + 8yK^ - 3K^ + 15y- - %_+ 2
^ x + Syx — %2 + 21y - 10.
18. Bepaal het omgekeerde van 5 + K6 + 1^8.
19. 1 2K6 : (1/6 — Kl2 + 1/2 + 1) =
20. Herleid 8i^2 : (2|/2 — 1^3)
oj (t^7776 + 21^9 + 2l/3i^2 + 2i^6 + 21/2^3 + 2i^4 ^
1^6 + 1^2 ~
22. Tot welke waarde nadert de breuk
— -^ o , , Tx — — ^ als oj tot 1 nadert.
i^(:r^ — 1)
23. Vervorm -:; ^^___^ zoodanijr, dat haar noemer
1 + 1/2 — 1/8 + K5 _
rationaal worde, en geef tevens op, met welke gebrokens
van deze soort de genoemde vervorming niet kan plaats
hebben.
WORTELTREKKING UIT WORTELVORMEN.
1. Herleid aV\a^ (aV^a)'] tot een enkelen wortel.
3. „ VZy.V^
4. K{2K(2K2)} :3^2 5. ^ -^1^ . ^— ^-
60
G. (3K2 + 51/ 3) : V{S + 21/(5 — 21^2)}
7. (211/6 + 231/5) : V'(ll + 21^30)
8. ^(6 — 21/3) : K{10 — 3K(4 — 31/2)}
9. (7 + 31/2) : ^'(21/7 — 3^2)
10. (I^'6 + l»^9 + 1/2) : [30^6 — 2l/(2 + ^2)]
11- iprg- : K{l/(3 + 2«) + 1/2(1 — n)]
12. 2« : !/{!/( 1 + ^a) — 1/(1 — ^a)\
13. Herleid l/{ — 31 — 41/15 + 6K 10 + 1 01/6}
14. Als in l/(./' +7* — 26) voor x wordt gesubstitueerd
7 — 1/3, wat is dan de waarde dezer uitdrukking ?
15. Herleid tot de eenvoudigste gedaante
K(6 + 1/8 — 1/12 — 1/24 en
1/(15 — 1/6 — 61/2) — K(15 + 1/6 + 61/2).
16. Vereenvoudig l*^!»" + l/(i* — 3a*)} X ^{a* — V{0* — Sa*)}
17. Breng bij de volgende vormen de factoren, die vóór een
wortelteeken staau, er onder.
3l/{ 31/(3K3)} en 2V'{ 2 + 1/(2 + |/2)}
18. Herleid 61/(3 — 1/5) + 21/(15 — 51/5) tot een enkelen
wortelvorm.
19. Verander V{ — 5 + 31'''5) in de som van twee wortels.
20. Bereken sr uit de vergel^king
1/68 : X = 21/(3 — il/2).
21. Bereken -i-— ^7=0^ i° ^Ü^ decimalen nauwkeurig.
22. Herleid (1,4 — 0,71/3) 1/ (1,4 + 0,7k'3) +
(1,4 + 0,71/3)1/(1,4 — 0,71/3).
23. Herleid K(ll + 21/10) ± K(ll — 21/10).
24. Vereenvoudig l/(a« + i^a«è«) + l/(è« + ^a«S*)
25. Herleid V{Q + 1/(5 + 12i/3)} — l/{6 — K(5 + 121/3)}-
26. Bepaal de vierkantswortels uit
b' — ab + ^ + l/(4ai» — 8a^^ + a^b)
27. Bepaal de waarde van -— t — JL-JlfJ als
a + 1/(1 + a:*)'
01
28. Bepaal de tweedemacht van
V 12 ^ 2 \ ^ y >2 2 i
oQ TT 1 -^ 1 4»^(,»^1 3-K3)
^y. nerieia ^^^^ ^ ^^^ en >.(0^j3 ^ y^y
30. Herleid — ^., ^ . -^— en
V^(l^l2 — J/'S) ^[VQ — 1^4)
31. Trek den vierkantswortel uit den vorm
^ 4- 1 — 2^x{V + Vx) + ^Vx.
32. Verdeel V^(15 + 6K5) in de uiterste en middelste reden.
33. Herleid tot de eenvoudigste gedaante: <
2 + V3 2 — K3
i72+"K(2 4-l/3) 1/2-1/(2 4-1/3)'
34. Bepaal den derdemachtswotel uit 31/3 X {hV2 — 7)
35. Herleid op de eenvoudigste wijze
V(a + X + 2Vax) ±:V{a-{-x — 2Vax)
36. Herleid tot een enkelen wortelvorni
37. Vereenvoudig l/"{8 — 1/(24 + 81/5)}
WORTELTREKKING UIT VEELTERMEN.
1. Bewys, dat de tweedemacht van een veelterm gelijk is
aan de som der tweedemachten van zijn termen, plus
twee maal de som der produkten van die termen twee
aan twee.
2. Welke 4 termen kan men onmiddellijk opschrijven als
men de tweedemacht moet bepalen van een drieterm, vier-
term, vijfterm, enz.
3. Bepaal den stelkundigen vorm van den laagst mogelijken
graad, dien men moet optellen bij
16;r* — 40.r3 + 23^2 _^ 2&x — 49,
om hiervan een volkomen tweedemacht te maken.
62
Bepaal den derdemachtswortel uit elk der volgende
vormen.
5. w^ — 6x^ + 15;r* — 20ar« + 15^» — 6;r + L
' 8 "^ 27fl« + 3a« "^ 2*
ar8
6
7. ?^_3-^.-^4+3^:.
8. ;ï;8_i2;p« + 54;r-112+?^~i^- ^-
fv a«c« . 3a^c 3ab ¥
è' bx cx^ c^x^
10. Bepaal de vierkantswortels uit m^n^ + m^r^ + «V*, als
Bepaal de reëele vierdemachtswortels uit de volgende
vormen.
11. ;r* — 28^» + 294ara— 1372;ï? + 2401.
io .« 32 24 8 1
12. 16 — h -T — — T H r-
»ï »ï* »^' m*-
13. a* + 8a »d? + 16;r* + 32fl;p» + 24a «ar».
14. 1 + 4a? + 2dr2 — 8^8 _ 5^4 _^ 8;r» + 2;ï?« — 4;i?7 + ar».
15. 1 + 8ar + 20;r« + 8;r» — 26a?* — 8;r« + 20a?« — 8a?' + ;i?8.
16. Bepaal den stelkundigen vorm van den laagst mogelgken
graad; dien men moet aftrekken van
27jö« + 36jö5 + i2p4 _ 8jö2 + 9jö + 41,
om hiervan een volkomen derdemacht te maken.
17. Welk verband moet er tusschen de coëfficiënten be-
staan, zal a?* + ax^ + bx'^ -^ ex -\- d een volkomen tweede-
macht zijn ?
63
18. Bepaal de twee middelevenredigen van
4:x* — 8j-' + 6j:* — 2x + 0,25 en
1051^ _ 6.: _ 1^. 49^,
25 5 5 •
19. Onderzoek door worteltrekking of de volgende reeks goed is,
r(l+.)=l+l.-,l.« + 3V»-^3.* + ,fg.^-.^
20. Bepaal den derdemachtswortel uit den vorm :
llaH^ ^ax ^az ,
+ ïë^'V + ^hy mx ^ ^^'
2 1 . K(4a»« 4- 2fl« -^«;<7» + Jfl V*'*) =
*^ [ ^a^m^ a^ + 2am-\-m^\
23. Bepaal de betrekking^ die er tusschen a, ö en c moet
bestaan^ zal x^ + Sax^ -\- bx + c een volkomen derdemacht
zgn voor alle waarden van x,
24. Bepaal de voorwaarden, dat
iP« 4- Sax^ + 'Sbx' + a{6b — 5a^)x^ + db{b — a^)x^ + dcx + d
een volkomen derdemacht zij voor alle waarden van x,
25. Bepaal de vierkantswortels uit de volgende twee vormen;
;P* -{-(2a — 4)a?8 + {a' — 2a -\- 4:)x^ + (2a^ — 4a)x + a\
(a + 1)^^* + (2»^ + 2a)x^ + {Sa^ — 4a — 6)^^
+ (2a«- 6a)ar + d^2 _ g^ ^ 9^
26. Voor welke waardeÈ van m wordt 3»z;r* + {6m — 12);r + S-
een volkomen vierkant ?
27. Bepaal de waarde van m, als men weet dat
4ar* + 12;r'y + ?«;p2ya _^ g^^s _j_^4
een volkomen vierkant is.
/i /* p
28. Als - = - = - vraagt men te bewijzen, dat de vierkants-
wortel uit .- ^ 7^^ o7^ 7o o ^ölilt IS aan
OC^
34
29. K(121ara^;p8 — 264:X^Vx^^ + lUx^l^x)
64
24
30. V{\69iv^}^a^iv — 364/Mr«Ka^^« + I96aa:^iya^x)
32. l^{27a^x* — lSba^x^}^a^x + 22ba^x^^a^x — 12ba*arVaw)
53. iy(27a*xVax — lOSa'^^lX""^' + lUa^x^l^ax — diax^Vx)
^ X
34. Bepaal de waarde van x, waarvoor
x^ 4- 6^« + 13;r2 + 13:^. — 1
een rekenkundig getal wordt, dat een volkomen tweede-
macht is.
35. l/ ié^—2a-b-x^ + è^V'-— ?^' + 2^Z! + J!l-\ .
3^3^-3
+
^^- P^(S
c2 ' 39a
3^* _^ 3y* y« \_
y y X x^
38. j^(;r3« — 3;r2«a^« + So^V*^^ — a^'») =
39. ]/"(.«.^» - 3.» + V + 1 + ^^^ - ^3)=
40 iX/^^"^'" 3a« + i 303"-'» __^!!_^\_
41. ,f^(8 — 36a? + 114.^2 — 207;r« + 285^* — 225;r« + 125^«) =
42 V\ ^* 32 20 20 5 1 ,04. 1 ^i.l-
43 iXi^'*^'^^^^ 48aöc7 15a^c8 Sa^c» ISa^c^V
' y yh^^x^ "^ "èö'^r"*" "^ T^x^ ^ 2h^ "*■ 64
44. ,^[8^3 — 36a2rf? _|_ 54^.^2 _ 27^8 ^ 12^2-^ — ?»Uxz +
+ 27:r2^ + 6a^2 — 9^-^^ + z^'\ =
05
45. ]Xr^^^°^ — 9 + -^^— — _gZ^' _ 8a^^^+^
_6 9c^ __ 20a^g^+i 15c 45c*
Sasè^H-* 40a5'»+8 50^'«+2 1 5c
4aaja- 27c« ' 9c« ~9^ ~~ '27«8 | =
46. Bepaal de ^^aa^den van of, waarvoor de volgende vormen
volkomen derdemachten worden :
ir * a^u^^
ONGELIJKHEDEN VAN MACHTEN EN WORTELS.
1. Wat is meer, V2 of 1^3?
2. Bewijs dat ^ + 1 > ^ 4. i.
3. „ „ 1/6 > ^12.
4. „ „ Kl9+|/'3>KlO + K7.
5. ,/ „ a« + a*S2 + ^254^^6> (^3 + è8)2
6. „ f/ n^ + 1 >> n + n^
7. ,/ 7, 3(1 +ö5' + ö^*) :>(! + « + «2)2
8. // // a''' — b''<:ma'^~^{a — b) en > m*"^-! (a — è),
als a :> b
9- // // ipy :> «c + 5r/, als ^«2 = ü^a _|_ ^2 en ^2 = ^a _|_ ^2
10. „ „ 2(l+;r2 + ;r*)>3(l +^«)
11- // // abc:>{a-\-b — c)(a + c — b){b-{-c — a), als a,
é en c ongelijk zijn.
12. // if i^p > 1^ (^ -f- 1), als p niet kleiner is dan 3.
13. Als van eenige breuken met positieve tellers en noemers,
de som der tellers gedeeld wordt door de som der noemers,
ligt het quotiënt tusschen dé kleinste en de grootste der
gegeven breuken.
14. Bewijs, dat de rekenkundig middelevenredige tusschen 2
5
6(5
positieve ongelijke getallen grooter is dan de meetkundig
middelevenredige.
15. Als a en b positief zijn en a:> b, vraagt men uit de on-
ffeliikheid — — '^ ^ ,, > --^-^T^^ af ^^ leiden, tusschen
welke grenzen x moet liggen.
Antw. : X neg. of grooter dan V^ab.
16. Bewijs, dat pq -\- Piqi +P2^2 + • • • • kleiner is dan
V{p' +Pi' +^02^ +....) X V{q' + ^1^ + ^2^ + . . . .)
tenzij p '- q =Pi '. qi =p2 ' q2 = ' ' ' '
17. Bewigs, dat voor een geheel even getal n
a» + ö^«-i + (^«-2+ + 1 > 0.
18. Bewijs, dat aan de ongelijkheid
3(1 + «2 + a*) > (1 + tt + ay
voldaan wordt door alle positieve en negatieve waarden
van a.
19. Als gegeven is a^ = b^ + c^, vraagt men of a^ grooter of
kleiner is dan b^ + c^. Om de vraag op te lossen, ver-
gelijke men [a^Y met {b^ + c^Y, waarbij op te merken
valt, dat («8)2 = (^2)3.
20. Bewijs dat de twee betrekkingen
l^^m^^n^ = l en jö2 -+- ^'^ + ^2 = 1
ten gevolge hebben de ongelijkheid
lp + mq +7ir <: 1.
21. Bewijs de ongelijkheid
V{a^:b) + V{b^:a) >Va + Vb
22. Bew^s de ongelijkheid
(a + b — c)2 + (a + c — è)^ + (è -}- c — aY :>ab + bc + ca,
23. Bewijs de ongelijkheid
Qabc < ab{a + è) + bc{b + c) + ca{c -{■ a) <z 2(a^ + ^^ + c»)
24. Bewijs dat x^ + ^^ — üry — iry* positief is voor alle posi-
tieve waarden van x. (Men ontbinde in factoren).
25. Bewijs, dat de {m + n +p-\-q) - de machtswortel uit abcd
tusschen den grootsten en den kleinsten der volgende vier
wortels ligt
m n p 9
Va, Vb, Vc, Vd.
67
26. Wanneer a, b en c ongelgke positieve getallen zijn, vraagt
men te bewijzen :
9{a'' + ^3 + c8) (a + è + c)« > 27 abc.
27. Bewijs dat 2{x^ + ;^^ + z^) > jy -{- yz -{■ zj', en
d{ic^ -{- y^ -\- z^ + u^) z> xy -\- xz -\- xu^-\- yz + yu + zu,
28. Bewijs dat (a-\-b^ cY •- 8(0^2 -\-b^ -\- c% tenzy a==b = c,
29. Bewys dat 2(1 + n^ + n^) > 3(^ + n^) tenzij /^ = 1.
30. ,/ „ i^n^ — 1 > i^(# — 1)2 tenzij n=l.
31. ,/ „ a-\-Va>l + Va^ en ^a^ — 1 > a — 1, als a
grooter is dan 1.
GEBROKEN EN NEGATIEVE EXPONENTEN.
1. Met behulp van gebroken exponenten te herleiden
[1- <"'^^' IT
2 Ontwikkel («"* — b-^Y en schrgf de uitkomst zonder
negatieve en gebroken exponenten.
2i + 3 ir/ ^ V— 2 -■ — ». — OT
4 )/ a-3i-^ \-y. ir/_j__r 1
5. («j»»-3)-8. {mH-^Y; (m-H*)-". {m-V)"-^.
6. (a?-»^"')-«. (ar-«y»)«+2; («»*-*)-». (a-2i3)-s,
7. (ar— «^— /^)- ». [x'^+r^i/ei—»]-»} (Sa-'^bx-Y)'^ X (öaè-^aiV"*)-''.
10. (3a'')-»:^3a»)-»+2; {ar-^*)-»•.{a-^b*)-K
11. (— a'>)-8:(— a»)-3; (jBV*)~":(i»V*)~"-
68
14. {x-^ — 2x-^y + 2^^-2^« + 3^- V' + 3?/*) (i<?'' -h ^'y + ^Y)'
15. («-3 _ 3^-2 j-i _ 3^-15-3 4- 6-^) («-2 _ 2a-^h-^ + è-^.
r y/~*« y/— "2» 1 1 >» — in,
M — 2;rt .»• — 3» 1
A%i:'" -\!Ly'^'' -1^^ 3 .91 1 1
18. Herleid: ' " i ^
21. Bepaal den 'derdemaclitswortel uit
8a8— 12^2 + 30a— 25 + 30a-i— 12a-2-}-8a-3
22. {^é.}^ — \\ah^) : (fa^i* — ^a*è«)
23 8^i^__jl2^-*j,-4_10^-3j^-t+15j^-i-'* '
24.
4^—1 — 5^"~^
/3a*^_4«_ ^MK\ /3a* 4è«_9aW\
\4è* 3a^ "^ ~8~; X \4Ï*" "^ ZaS 8 /
26. l:i^a4»-3; 20acM:5aiS~Vrf'i.
27. I^(al^jë2') ; (f )2 : (1)^ ; (2a*i* — ZaM^)\
og 1^ J^^« ^ / 2a*di __ 3a^ V
W¥ ^ l^a^-3" ' \ 3c 4c« /
/12a\* /3a\* « * *
69
— 2
31. Verminder Va (a* + 3a-») met V» [ai — 2a-*) {a* — Sar ^),
rermenigvuldig de rest met 6(1 — a~^)-^ en deel 't pro-
dukt door
{«» — (— 6)}» {«i + (— 6)}*
32. Herleid : — ? ^* — ,-,~
K(è5Ka-i*y^ *)
33. Herleid tot de eenvoudigste gedaante :
34. Herleid : _'^-'^--^^"^-'r
y{aV{a-^^{aVb^W
Bepaal den derdemachtswortel uit elk der volgende
2 vormen.
35. bl2a! + QQOa^iy* + 600;^*^? + 125^ — 576a^^* —
— 720ar*/^* — 225^5.?* + 216**^5 + 135yM — 272.
flU Sa 3a* 1^
+ r "^ h^^ "^ 62* "^ b^
'SI. Vereenvoudig het produkt van {{a — by + iab}^ en
{(a f ^1)2 _ 4^» X j "^ *- + 2ai(a + *) M
38. Herleid tot den eenvoudigsten vorm:
^ a*è— ^(è — a)'* ^ , ^,, . .
1^— ^Lg ^ ■ l^{a-7(è_^)5}.
* ** i
'.•*>*
70
ÖEBROKEN EN NEGATIEVE WORTEL-
EXPONENTEN.
1. Herleid tot de eenvoudigste gedaante:
. 1 1 .
lü-a"' |»'-{a'i »^,,»il/(«~*»^a)}
— 2»*
K27
T /^a-'v [w — ^-) , «y^
5. Herleid : «»i'»"c» X «^a* X ^b» X »^c- * X aïb-lc^ X
^ X 1/^X1/ c.
6. Herleid : |/-— ^ X V^-z:^ X K
6 —6
7. Herleid l/[2i?i^(jö — ^)-* X KlS^^C/^' — ^')*}]-
I CT H o U D.
Blz.
Het voorstellen van getallen door letters 3
Saraentelling van geheele vormen 4
Aftrekking 5
Vermenigvuldiging 6
Deeling van geheele vormen 11
Eigenschappen der geheele veeltermen, deelbaarheid, enz 13
Algemeene eigenschappen der vergelijkingen 44
Vergelijkingen van den eersten graad met éen onbekende 45
„ „ „ „ „ „ 2 onbekenden 48
3 of meer onbekenden . 19
w II n II n n
Ontbinding in factoren 24
Grootste gemeene deeler 31
Kleinst gemeen veelvoud 35
Herleiding van breuken 38
Optelling en aftrekking van breuken 41
Vermenigvuldiging van breuken 45
Deeling van breuken 48
Herleiding van wortelvormen 52
Optelling en aftrekking van wortelvormen 53
Vermenigvuldiging van wortelvormen 54
Deeling van wortelvormen 5^)
Wortelt rekking uit wortelvormen 57
,, „ veeltermen 59
Ongelijkheden van machten en wortels 65
Gebroken en negatieve exponenten 67
Ltgaven van VT. TEB8LTTYS, te Amsterdam.
Werken van J. VERSLUYS. ~
)LEIDING BIJ HEI KEKENONDEBWIJS.
I. Getallen ïan 1 tot 10. Derde druk ƒ 0,60.
el. Getallen van 1 tot 100. Derde druk 1,00.
. Getallen tot 1000 en hooger. Derde druk 0,50.
1. Breuken. Derde druk , 1,10,
INBOEK VOOR DE LAGERE SCHOOL.
ije. Gelallen tol 40. Vierde di-uk / 0,10.
ikje. , , 20. Vijfde , 0,20.
je. , , 100. Zesde , , 0,20.
Itje. „ , 1000 en hooger. Zesde druk . . . , 0,20.
je. Gewone en tiendeelige breuken * . , 0,20.
je. , , , , Vijfde . .... 0,20.
ukje. Interest-rekening enz. Vierde druk . . . . , 0,20.
ikje. Denkoefeningen. Derde drut , 0,30.
kje A tot 1000 , 0,16.
B . 10000 , 0,16.
, C. Gloolcre getallen , 0,16,
zaraeling. Gemengde vi-aagstnkken over de getalten
tot 100. Tweede druk ƒ 0,16.
, De gelallen tot 1000 en liooger. Derde druk. , 0,16.
, Over breuken. Tweede druk , 0,16.
, Over percent reken ing, winst- en verlies-
rekening enz. Tweede druk , 0,10.
fDLEIDING BIJ HET HOOFDREKENEN.
len van 1 tot 100 ƒ 0,60.
len tot 1000 en hooger , 0,60.
(en, interest-rekening, eni , 0,60.
tAAGSTÜKKEN VOOK HET HOOFDEEKENEN.
kje. Getalleo tol lOO /0,25.
tukje. , , 1000 en hooger 0,90.
(je. Breuken A , 0,30.
Vierde stukje. . B 0,45.
Vgfde stukje. Interest-rekening, enz , 0,25.
IKENBOEKJES
J. VEESLUYS.
zich onmiddellijk aan bg de Handle'tdiiiff voor hel
ran denzelfden schryver.
ik verscheen in 1876
II g IS??'
„ # 1878 en in 1883 en 1884 was
billende stukjea een zesde druk uoodig.
iie nit aolit stakjes bestaat, vormt met de vra^-
vormleer, de 4 verzamelingen en de vraagstukken
:n nit het hoofd van denzelfden scbrgver, bet meest
lat wg bezitten.
ikken zgn acht«reenvolgena al de w^zigingen aan-
inschelijk bleken. Een aantal gebruikers van de
bben hun opmerkingen meegedeeld aan den scbr^-
nuttig gebruik van gemaakt heeft, zoodat in alle
Ie eiscben der achool voldaan is.
van oordeel waren, dat aanvankeljjk te veel groote
opgenomen, is het aantal vraagstukken van dien
verminderd. Maar tevens werd een afzonderlek
B) aan het rekenen met groote getallen gewijd,
ekenen van oppervlakken en inbonden behelzende
'er vormleer een leergang, die zoo geleidelgk is als-
nschen kan.
1 van 't metrieke stelsel gaat von den beginne at hond
iet aanleeren van het talstelsel.
trdrukken bleken geen wijziging meer te behoeven.
zgn de rekenboekjes nu gestereotypeerd.
R E K K H B o E K E K.
De rekenboeken voor de lagere scholen van den heer J. Ver
zgne VerznL'i dingen en zijn Vras^stukken bj] 't onderwijs
Vormleer heb ik op mijne school ingevoerd, zoodra ze verse
waren. De naam J. V. was vooi' mg een waarborg, dat i
goeds zou ontvangen. Ik heb mg niet bedrogen. Sinds de
ring dier rekenboeken leeren alle kinderen — zelfs die on
matig de school bezoeken — Hink en met oordeel rekene
handleiding bJ) het rekenonderwgs heeft ook het hare ti
bijgedragen, en daarom verheug ik mij in de verschijnin
een tweeden vermeerderden en verbeterden druk.
A. G. E. HoiJEH,
Hmfdmulerwijzer tf W
De heer Boswijk, hoofdonderwijzer te Arnhem, drukte
bevinding na het gebruik der rekenboekjes van J. Versluy
door te zeggen dat de schrijver eeti pad heefl aangeireu
weinig hohbeitg, dot ook z'tcokk-p hffnim liH gaarne en gemni
bewandelen.
TWEEDE VERZAMELING.
CEHENOBE VRAAGSTUKKEN OVER HK CETAM.E.V TOT UUIZKND UN Hi
Derde druk. Prijs IC Cent.
Uit de voorrede:
„Van verschillende zjjden is de opmerking gemaakt, dat
rekenboekjes te weinig vraagstukken bevatten, waarby U
antwoording van een zelfde opgave twee of meer verschi
bewerkingen noodig zjjn. Vult men die leemte aan, do
leerlingen een of twee- stukjes van een ander stel rekenb»
dat beter aan dien eisch voldoet, te laten doorwerken, dar
moeten zij hierbij weer te veel vraagstukken, die ver be
hnn kracht gaan, als zij eenmaal het overeenkomstige slukj
mijne reeks hebben doorgewerkt. Om nu aan die bezwaren
moet t« komen, wordt hierby een rekenboekje in het liol
zonden, dat bestemd ia, gebruikt te worden, nadat het '
stukje geheel of gedeeltelgk is dooi^werkt."
DERDE VERZAMELI1TQ.
Tweede druk. Prijs 10 Cent.
REKENBOEKJES,
DOOR
J. VERSLUYS.
Onderwijs''' van iz November 1877, zegt de heer
rdt van deze Rekenboekjes o, a. het volgende: '
it bezwaar is aan dien grooten toevloed verbonden,
lal de degelijk goede, de uitstekende werkjes niet
ht komen, of althans minder de aandacht trekken
ïrdaad verdienen. Of dit het geval is met de serie
voor de lagere school, door den heer Versluys in
geven, zou ik niet kunnen zeggen. Ik geloof Ijet
[n allen gevalle zouden zij dat in geen enkel op-
len. Langzaam en geleidelijk opklimmend, naar
rdacht plan samengesteld, omvatten zij de stof, die
eerste beginselen tot daar waar het lager onderwijs
worden zijn eindpaal te hebben, noodig is. Die
t onder de hand van den kundigen bewerker tevens
5t zelfstandig denken en werken, zoodat naar mijne
leerling, die geregeld deze serie heeft doorgewerkt,
worden ruimschoots in dat vak toegerust te zijn
Ls die de lagere school kan aanbrengen.
;eer licht mogelijk dat deze of gene het in enkele
met den schrijver niet eens is, of langs een anderen
zijn doel te bereiken, — maar zeker is het dat wij,
rekenboekjes van den heer Versluys een aanwinst
onze schooUitteratuur in dit hoogst belangrijk vak,
oordeelkundig gebruik van deze werkjes de meest
nichten zal kunnen geven. OËchoon ons Blad geen
blad is, meen ik dat het daarom wel van tijd tot
e bij uitstek goede schoolwerkjes de aandacht mag
heb dit met deze enkele regels trachten te doen."
\
HA^NDLElDINe BIJ HET RESENOKDERWIJS eu REKENBO:
door J. VERSLUYS.
Wilt velen in den arbeid van den beer V. vooral zal toelachen, is zij
keiirigbeid op kleinigheden. Immers, al wordt voor velen het vak er i
lukkelijker door, en al vind ik de aanveehting urn het te vergeten, v
jonge onder»' ijzers, zeer natuurlek, bagatellen zijn het voornamelijk,
aondaeht van den onderwijzer der lagere sehooi voortdurend in beslaj
Dsarom is het een groote deugd in een handleiding sla dele, wanneer d
nl die kleinigheden der praktijk, wier som zoo Rlierbetaiigrijkst ia, b
gelet wordt. Al dadelijk .komt deze eigcnsi^hnp uit, als de schrijver i
deel der handleiding het aanleeren der cüferteekens bespreekt en d
hulpmiddelen nagaat, die noodig worden by de beschoDwing. van hoevi
BTootec dao tien. Of men loch bij het leeren der cijfera deze moet ïc
hIs een verkorte achrijrnijze voor den nojim der hoeveelheid, dan of h(
zoo min mogelijk van de voorstelling der hoeveelheid gescheiden moet
— of de ballen van het telraani een of twee klenren moeten hebben
ze veelkleorig mogen zijn, ^ — of het noodig ia, dat olïe ballen, of al
welke de behandelde hoeveelheden voorstellen, ziobtbnar zijn, ^ of b
lallen boven 10 de aaugroeüiig uit het voorgaande pin» een eenheid,
de vooratelling : tien plus een zeker aantal hoeveelheden op den v
moet staan, — ziedaar vragen, die een oppervlakkig onderwijzer of e
^wijde niet andera dan ala neaterijen kan beachounen, de moeile ni
om er zich 't hoofd over te breken, maar die juist het bewijs leverer
heer V. zich zijn taak nïet te gemakkelijk heeft gemaakt en nanwlettent
geven heelt op de ivijze, waarop kinderlijke hersenen nieuwe voorstellingen i
De eerste i van bet by dezen kring behoorentle 3e stnkje, waarin d
ver uit den decimfttr het begrip meter ontwikkelt, schijnt, uaar ik o]
heb, sommigen af ir, schrikken. Zij zien dan echter orer 't hoofd, dat
meter, nadat de leerling den meier duidelijk heeft leeren kennen, vi
afgedaan heeft, en alleen tot dat doel heeft moeten dienen. Nu stem ik
dat het wat al te nanHgezet ia, om langa dezen omweg het kind tot be
van den meier Ie willen brengen ; een meter hebhen de kinderen me<
dan een decimeter. Maar overigens acht ik het een gelukkigen greep
schrijver om de ontwikkeling van het metriek alelael gelijken tred
houden met de opklimmende hoeveelheden, die langzamerhand binnen h
stellïngsvermogen vnn den leerling vallen. In den Ben kring valt alzoo
nismaking met het woord drka, in den ■ten (1—1000) met hetto er
eindelijk bet overige. Door deze vcrdeelïng vervallen wellicht de bezwi
hen, die nog altijd met de oude namen aanvangen en zoodoende de 1
van de Wet vnn '09 tegenwerken. Ik weet wel, dat hierop genoonlijk
woord volgt: .later komt dat wel terecht." Maar wie zoo spreekt, m
meen ik, in de meeste gevallen bedn^n vinden. Men herinnert zich e
werp in den regel bet eerst met den naam, naaronder men het hee
kennen. Leerlingen, die dus de mat«n en gewichten aanvankelijk onder
namen hebben geleerd, zullen, ala z^j de nieuwe benamingen motten gi
zich die wel herinneren, maar 't zal hun moeite kosten, omdat de on
hun 't eerst voor den geett komt en zij dien dus vooraf hij zioh zei
Hertalen. Bij voorkeur zullen zü 't daarom niet doen, evenmin als me
noodzakelijkheid gaarne in een vreemde taal spreekt.
De 4e kring |1— 1000 en ho<^^) en het daarbij behooreode rekenboi
ben mij tot geen bijzondere opmerkingen aanleiding gegeven. Helde
ordelijke bewerking laten niets te wenaehen over en nla 't voorgaande i
is behandeld, zal men bemerken, dat het zwaarste werk achter den r
't weinig moeite koat op den stevig geleicden grondalait voort te boawen
Juni, 1870. C. H. DEN HEB
iding bij liet ffoofdrekenen
J. VERSLUYS.
) (int. IraiLiftukkeii iurh^, 'y stukjtii, 2-J k 30 ('ent.
eekbkd" van S April 1880 leest meii:
Handleiding bedaard doorgelezen en durf ze onvoor-
Jibevelen aan ieder, die aan hoofdrekenen doet. De
heb ik niet kunnen doorwerken, wat bepaald noo-
i oordeel te vellen ; toch heb ik vertrouwen genoeg
ifer, om ook die te durven aanbevelen. Uitdi-ukkin-
di-ie kwart, in plaats van 41 en drie kicarl, vind ik
J. Kiel,
ilen, tüii (liüustv van liet Hekenooderwijs.
iet 10 knben van 2i centimeter ƒ 0,25.
« 20 „
II '^
II
, 64 *
II '-i
„
II -tss „
1, 2.
„
vattende :
1 van 'i^ centimer.
ile knben van
2J centimeter.
ibbele knben
van 2J,
centimeter
ibbele „
II ^i
bbele „
„ 21
bbele kube
dnbbële „
// 2
ubbele „
II ~
dubbele „
,1 2
. >>•»
rekenkaben in een kistje ....
n h centimeter, de 50 voor . . .
1 A decimetei', per stuk
upjes voor de hand der leerlingen
it 10 kuben van 2^ cM. die vereen igd kun-
m tot dubbele, driedubbele enz
t '20 kuben, ingericht als die in K.
f 2,50.
V S.OO.
„ 4,00,
B 0,25.
,, 0,35.
AVerlten van J. Ver-öluys ,
PERSPECTII
EN
TEEKENONDERWIJS
Perspectief, Eerste deel. Derde druk
Tweede „ Tweede „
Handleiding bjj bet eerste teekenonderwijs
^eekenvoorbeelden, bestemd om in handen der leer-
lingen gegeven te worden, I — IX. Ieder
Teekeaaohriften I met vierkanten ter grootte van \
vierkanten centimeter
„ II met stippen op afstanden van 1
centimeter
„ III zonder lijkeD of stippen
Teekenleion, aan de eene zijde met ruiten van 1 vier-
kanten centimeter, aan de andere zgde met stippen
op afstanden van I centimeter
WANDPLATEN, ten dienste van het teekenonderwijs.
Eerste reeks, 12 platen
'. •- t
DOOR
J. VERSLUYS.
Derde Druk.
PRIJS ƒ 2,50.
Het aantal figuren is vermeerderd in dezen herdruk, evenals-
het aantal vraagstukken. Op verschillende plaatsen zijn kleine
verbeteringen aangebracht. Voor het in perspectief brengen van
den bol is een betere constructie gegeven. Ook is het hoofdstuk
over schaduwbepaling bij kaarslicht aanmerkelijk uitgebloeid. De
gevallen, dat de kaars achter den aanschouwer staat, zijn uit-
voerig besproken, vooral het opmerkelijke geval, dat de perspec-
tieven der lichtstralen bij kaarslicht evenwijdig zijn.
Aan het einde worden de werkstukken opgegeven, die in de
drie verschillende jaren zijn opgegeven bij het aktenexamen voor
teekenen lager onderwijs:
Ondanks die uitbreidingen is de prijs onveranderd gebleven.
Het boek bevat 140 bladzijden druks groot 80, met 136 hout-
sneden tusschen den tekst, waarvan sommige een halve bladzijde
en meer beslaan.
De eerste helft van dit deel kan als voldoende worden be-
schouwd voor hen, die examen voor de hoofdakte willen doen.
Het geheele deel is voldoende voor hen, die de afzonderlijke
akte voor het teekenen bij het lager onderwijs willen behalen.
Aan het einde komen al de werkstukken voor, die in de jaren
1881, 1882 en 1883 zijn opgegeven bij het examen van teekenen
lager onderwijs.
FEH8FE0TIE1
J. VERSLUYS.
DEnnE DEEL. - Frijs f3,00.
INHOUD:
Het verdeelen van Ignen.
Ontoegankelijke punten.
Het snijden van rechte lijnen en platte vlakten.
Doorsneden van gebogen oppervlakken.
Schaduwen aan gebogen oppervlakken op den grond.
Perspectief van den bol.
Perspectief van gewelven.
Schaduwen op gebogen oppervlakken.
Iets over schaduwen en over temgkaatsing en breking van
Verschillende werkstukken.
Gemengde vraagstukken.
In het Nieuwe Schoolblad leest men over dit werk o.
volgende :
Dit werk verscheen voor een paar maanden, nadat kort te
de derde druk van het eerste deel het Hebt had gezien. Een
druk van een leerboek over perspectief in ons land (de eers'
scheen in 77 en de tweede in 81) in zoo korten tijd is ei
wga, dat èn het boek voldoet 'aan de vereischten, èn de
der perspectief toeneemt. Dit laatste is zeker een gevolg ï
hoogere eischen, die men by het esamen in het teekenei
dit vak stelt. Men kan tegenwoordig niet meer volstaaji n
perspectief- ideaal van vroeger : een kruis of eenig ander voc
met tal van evenwgdige lijnen in perspectief te brengen.
Met belangstelling nam ik dit derde deel met atlas ter
met ingenomenheid heb ik er mede kennis gemaakt. De t
is eenvoudig, duidelfjk en streng, zooals wij van den scj
gewoon zijn. De platen zijn nauwkeurig en net geteekend.
komenden teekenaars en schilders, en vooral hun, die vo
examen-teekenen studeeren, zij dit deel niet t«r kennisname
ter ernstige doorwerking lig zonder aanbevolen.
Rotterdam. A. F. Fehmer
WggT
mm
^c^
wp
• * » *
* . f ■■
./
Nieuwe Uitgave van W. VERSLUYS te Amsterdam.
WANDPLATEN
voor het Teeken onderwijs
iii aansluiting bij de handleiding veor het Teekenonder wijs op de lagere school
DOOR
De FIGUREN zijn op een flinke grootte geteekend. De PLATEN
zijn 50 bij 50 centimeter.
De prijs van' de eerste serie van 1 2 platen is
Onop^eplakt ƒ 4,00.
Op bordpapier geheel gereed f, 7,00.
De geheele verzameling zal bestaan uit 60 platen. Elke reeks
van 12 platen is afzonderlijk verkrijgbaar.
Het eerste twaalftal is zoo gekozen, dat men er zich een denk-
beeld door vormen kan van de geheele verzameling. Het omvat
31 figuren aldus verdeeld over de twaalf platen.
No. 1. Kwadraten. 1 No. 10. Vlakversiering doorster-
2. Verbindingen van kwa- achthoeken.
draten en rechthoeken. ,/ 14. Gelijkzijdige driehoeken
//
//
//
3. Grieksche randen door
staande en liggende lijnen
gevormd.
4. Rechthoekig vlechtwerk.
8. Regelmatige achthoek.
in verschillende standen.
ff 16. Regelmatige zeshoek.
„ 33. Ellipsen.
ff 38. Twee vazen.
,, 46. Rasterwerk van ijzer.
ff 50. Klimopblad.
Uit de laatste nummers blijkt, dat ook deze niet te moeilijk
2ijn voor de lagere school.
Er wordt bij deze wandplaten streng vastgehouden aan de hoofd-
beginselen, waaromtrent men het tegenwoordig in woord en ge-
schrift eens is.
Geen perspectivische teekeningen worden nagemaakt, maar
vlakke figuren. Daarom zijn schaduwranden als zonder beteekenis
en onverklaarblaar bij vlakke figuren geheel ter zjjde gelaten.
De eenvoudigste meetkundige figuren vormen den grondslag.
Deze zijn vierkant, gelijkzijdige driehoek, regelmatige zeshoek,
achthoek, vijf hoek, cirkel en ellips.
Wanneer een grondvorm is behandeld, volgt niet terstond een
andere grondvorm, maar verbindingen van dien eenen grondvorm
tot ornamenteele vormen. Op die wijze kan elke grondvorm vast
ingeprent worden, zonder dat de leerling al te lang hetzelfde
moet teekenen.
Bij den r<~'geimatigen zeshoek is door stippellijnen de e
digste manier aangewezen om zulk een fif^ur te teeken^
door samenvoeging van G gelijkzijdifte driehoeken. Ia dei
geeft men voor den zeshoek een minder eenvoudige en d
minder doelmatige samenstelling aan.
De ellipsen /{jn niet samengesteld uit cii'kelbogen, wat
onzuivere tijoen geeft.
Om in overeenstemming te blijven met de vooropgestel
ginselen worden geen .-.ndere bludvoiuien dan 4,'fisti liseerde
nomen.
Deze eerste reeks kan ook dienen tot aanvulling van
vemumelingen.
Het is de bedoeling, dat aan de eerste plaat het teekent
staande en liggende lijnen voorafgaat. Een afzonderlijke
hiervoor te nemen, scheen niet noodzakelijk.
De tweede reeks zal geen hoogere nummers bevatten.
In de volgende reeksen zullen ook platen voorkomen me
of meer kleuren.
Daar in de platen, zooals men het tegenwoordig op
gronden verlangt, verband is aangebracht tusschen teekenonc
en versieringskunst, kunnen ze ook geschikt woi'den geach
burger-avondschoten en amhiiuhtscholen.
Voor normaal schol en en kweekscholen, waar het teekenonc
van den aanvang af moet begonnen worden, leveren de
het voordeel op dat ze een geregelden leergang vormen, d
toekomstige onderwijzer later in de school kan volgen.
HANDLEIDING
rij 11 F/r
Tli:EKKlVOIVT>Ii:BAVI.JS,
J. VBH3LUTS,
Prijs/ 1,00.
In De Wekker schrijft de heer Dijkstebhuis van (iriji
bet volgende :
^Met het oog op hetgeen de heer v, d. lï. zich voorstelt
eerste drie klassen in ruitjes met potlood te laten teekenen,
het mij voor, dat de beide eerste stukjes van de reeAeiiyooctt
van den keer J. Versluys uitstekende diensten ku;-.nenbeï
terwgl zeker veel, zoo niet alles, wat de heer Versluys in zi
muntende Handleiding bij het eerste teekenonder wgs zegt,
daad behartiging waardig is."
/
HANDLEIDING
BIJ HET
EERSTE TEEKENONDERWIJS
DOOR
J. VERSLUYS,
Prös ƒ1,60.
J. VER8LUÏS. Teekenfoorbeeldeit, per stukje f 0,20.
In eene uitvoerige beoordeeling, voorkomende in Hei Schoolblad
van 22 November 1 881 , zegt de heer J. Schmal over deze nieuwe
uitgave o. a. bet volgende :
„Het is mij eene aangename taak de aandacht in het bijzonder op
dat boekje te vestigen. Als ooit in een kort bestek eene grondige
uiteenzetting van het teekenen voor de lagere school gegeven is, dan
is het hier. De handleiding telt 480 bladzijden en is voor /i,60 ver-
krijgbaar. De teekenvoorbeelden, die er bij behooren, zijn in 9 boek-
jes, elk van 16 platen, bijeengevoegd en voor den geringen prijs van
20 cents per boekje verkrijgbaar gesteld. Elke plaat bevat doorgaan»
nog verschillende teekeninff en.
„De heer Versluys wenscht, dat de onderwijzer die voorbeelden op
het bord voorteekent, of wel, dat de leerlingen een boekje in handen
krijgen om de teekeningen vergroot over te brengen. Daar tot heden
de goede voorbeelden nog al kostbaar waren en sommige om de kos-
ten tegen het beginnen met teekenonderwijs opzagen, is nu eene
gunstige gelegenheid aangeboden om met hét teekenen aan te van-
gen. Sog behooren ten gebruike voor de leerlinj^en bij de methode
teekenschriften : No. 1 met blauwe ruitjes van 1 vierk. cM., no. 2
met stippen, op afstanden van 1 cM., en no. 3 met schoon papier.
No. 1 en 3 worden afgeleverd voor 10 ets., no. 2 voor 12* cents.
„De teekenmethode is zoodanig inffeiicht, dat ze oefeningen aan-
biedt voor de geheele lagere school. Ze begint bij het eenvoudiffste
en klimt zeer geleidelijk op. In het voorbericht vinden we duidelijk
aanffewezen, wat de heer V. wenscht. Verlangt de een bij de begin-
nenden langen tijd oj) netwerk te laten teekenen, prefereert een an-
der het stigmographische teekenen, zoekt een derde zijne kracht in
het uitsluitend teekenen zonder deze hulpmiddelen: de heer Ver-
sluys vereenigt deze verschillende oefeningen. „De Duitschers vooral,*
zegt hij, „hebben van het netteekenen en het stigmographische tee-
kenen een ruim gebruik gemaakt. Een aantal schrijvers en opvoed-
kundigen willen eerst enkele jaren op een. net laten teekenen, daarna
een of meer jaren stigmographisch en eindelijk zonder deze steun-
selen. Anderen zijn daar zeer tegen en spreken hoogst ongunstig
over de vruchten van een dergeli)ken leergang. Ik ben er dan ook
van afgeweken, door bij elke oefening zoo spoedig mogelijk van het
netteekenen en de stigmographie over te gaan tot het teekenen uit
de vrüe hand. In dit opzicht verschilt deze handleiding van de mij
bekende. Met een deel van deze heeft ze gemeen, dat telkens zoo
spoedig mogelijk practische toepassingen worden gegeven."
(EN OVER VORM
J. VERSHTYS.
bij het onderwijs in de vormleer. I'Urde
oek is bestemd tot leerboek voor kweek
lormaalscholen en tot bandleiding bjj het c
de lagere school.
1 bij het onderwp in de vormleer op i
school.
Eerste stukje. Vierde drak
Tweede „ Derde „
op de vi-aagstukken tn deze 2 rekenbo
1 over vormleer vooral ten dienste van k
n en normaalscholen. Tweede druk . .
op de vi'aagstukken over vormleer vooi
:holen
ten dienste van het onderwijs in de von
krdigd op aanwijzing van J. Veraluys ii
i^ bg ziJn handleiding.
Eerste Bt«l
Tweede atel
HANDLEIDING
BIJ HET
DERWIJS IN DE VORMLEER
DOOR
J. VERSL,UYS.
Prijs ƒ 1,50.
z. 12 van zyiie brochure over de leervakken van het lager
\b, enz. zegt Dr. J. Zaaijer Az., onder anderen het volgende:
)n ik vroeger voor de afschaffing der vormleer geatemd waa,
bekennen, dat ik thans zou terugdeinzen om daartoe mede te
vooral na kennis genomen te hebben van de wijze, waarop
Versluya het onderwas in dit vak opvat en uitwerkt
er de meermalen vernomen bewering, door den Minister
erd, dat het onderwijs in de vormleer veelai tot min duide-
grippen omtrent wiskundige waarheden aanleiding ffeeft,
verklaring van den heer Veraluya, wiena woorden m dezen
oot gezag hebben, dat de vormleer in haar geheel kan be-
worden als een atevigen en onmisbaren grondslag vai»
lappeljjk onderwjjs in de meetkunde."
evelen deze handleiding bij het onderwijs in de vormleer iii
mdacht aan, eiken onderwijzer noodigen w^ tot eenekennis'
uit en mocht iemand nog twjjfelen aan hetgeen eigenlijk
r is, hü zal de handleiding van den heer ,). versluya niet
ligd ter zijde leggen,
iruari 1877. Ons Rechl.
lezen zijnen arbeid bewyst de heer Veraluya tegenover elk,
ormleer van de Ijjat der leervakken eener lagere school zou
ichrappen, dat zij recht van bestaan heeft, en wél als eene
lUweFgke meetkunde," ,die uit het gebied der meetkunde
bevat, als noodig is, om, langs den weg der aanschouwing,
ngen bekend te maken met die waarheden der meetkunde,
1 het praktisch leven voor ieder noodig zyn,' of om hen voor
len tol; het beoefenen van de meetkunde in eigenlijken zin.
Ie vormleer niet kent of niet genoegzaam op de hoogte is-
: leerstof den leergang, daarbij te volgen, de leerwijze, daarbij
5, kan daaromtrent in deze uitgewerkte Handleiding, rijk
ig voorbeeld, vele voor- en toelichting, vinger- en terecht-
n, op- en aanmerkingen, veel leeren. Wie met de vormleer
•.el wist te doen; zal omtrent leergang, leerstof en leerwijze
wat vinden, dat hem meer in ataaï stelt ; want de schrijver
t oud en nieuw, op eigen akker en eens anders grond bij
lot en vreemde veel saamgelezen, en dit in een achooneii
echt goed samengebonden.
:kker, 20 Januari 1077. v. W. v. K.
J. VERSLUYS,
MMm lij liiit oiHis in U Torieer.
ijs f l,oO.
Aan het eind mijner aankondiging gekomen, hoop ik zeer, dat
het mij gelukt moge zijn, een eenigszins juisten indruk te geven
van de zorg, die de heer V. aan zijn jongste werk gewijd heeft.
Komt hem hiervoor reeds een welgemeend woord van dank toe,
hij zal met nog te meer voWoening op zijn arbeid mogen terug-
zien, als de rekenboeken, die ter perse zijn, door veelheid en ver-
scheidenheid van opgaven de jeugdige klasseonderwijzers in 't
bijzonder tot remmen dwingen, en hen alzoo noodzaken, den her-
haaldelijk in de Handleiding gegeven wenk om langzaam voort te
gaan, op te volgen.
Amsterdam, 21 Dec. '76.
ilet Schoolblad, Januari 1877. C. H. Den Hertog,
Yraagstnkken bQ het onderwas in de Yormleer, door J.
Verslnys. Eerste stukje, 3e druk, ƒ 0,20. Tweede
stukje, 2e druk, f 0,20.
In een onzer hoofdartikelen, waarin we de Vormleer bespraken,
wezen we onze lezers op de goede handleiding van den heer
J.' Versluys. Aangenaam is het ons thans met evenveel vrijmoe-
digheid de hier bovengenoemde boekjes aan te bevelen.
De opgaven kenmerken zich door eenvoud^ goede opklimtnmg
en groote afwisseling. Zij sluiten zich aan bii de handleiding.
De opgaven in de eerste paragrafen van het ie stukje zijn zoo
eenvoudig, dat leerlingen van negenjarigen leeftgd, waarvoor de
schrijver ze bestemd heeft, ze best aan kunnen.
Meermalen hoort men spreken van ^/Onderwijs, dienstbaar aan
de practyk des levens,''' — welnu, deze boekjes konden op den
omslag naar waarheid dit motto dragen.
Wie er kennis mee maakt, zal het zich niet beklagen.
Christelijke Schoolhode,
t Nieu-we Schoolhla d
'. VERSLDTS. — FrUs per kwartaal f 1,60.
ld heeft het voordeet, dat het wordt geredigeerd door
lie op de hoogte is van het Lager en het Middelbaar
. — Dat het te Amsterdam verschijnt, levert voordeel
aniien van den spoed der berichten — De prïja is per
3 minder dan van de andere grootere onderwijsbladen.
Een nieuw onderwijsblad.
ital onder wijs-oi^anen in Nederland is met ééD vermeer-
5 Januari 188a ia verschenen het eerste nomraer van
uwe Schoolblad " Wjj bf^roeten het met ingenomenheid,
heer J. Versluys met de redactie zich heelt belast. Die
:t vertrouwen en wettigt goede verwachting.
Het rolkalbad.
(ONDEB EEDA,CTIE VAN' Mr. A. EeRDIJK.)
ikbladen zijn alweer met één vermeerderd : Bet Nieuwe
(Amst. W. Verslnys, f& p. j.), opgericht en geredigeerd
Versluys, die ook indertijd Het Schoolblad oprichtte. In-
iteeds voldoende werkkrachten gevonden worden om dit
iu te richten, zal het een schoone toekomst hebben. Geen
B schoolbladen levert éen No, per jaar, dat met dit No. 1
en vergeleken worden. Met groot« belangstelling zien we
de Nrs. tegemoet. Porté/eailln.
'.cht leverde naar aanleiding van de verachynisg van 't
'Schoolblad een hoofdartikel, dat aldus aanvangt:
in '83, te gelijk met het plakzegel. een nieuw tichool-
ikomen en het heet ook zoo. De hoofdredicteur is een
mde en, als wij ons niet vei^asen, dezelfde die aan het
ld van het thüis oude Schoolblad in „deazelfs" bloeitijd,
ipelt veel voor „Het fsieuwe üchoolblad", doch niet
i voor het oude. Het eerste nommer bevalt ons wel en
iAa gunstig af, door onbekrompen beid in keuze van
agen, gezond inzicht der toestanden en door ontwassen-
party -kinderachtigheden, by de overige liberale onder-
Deze zal b. V. zich wel nauwgezet wachten voor het
van 't geen Katholieke, antirevolutionaire of conservatieve
en tijdschriften, binnen- of buiten landsche af en toe
digs fe 'berde brengen. Zij 7.al ook angstvallitt vermeden
maken van het nieuwe Schoolblad, 't Ia alsof de
en soortgelijke geschreven worden voor lezers, die cel-
ten ojwesloten en niets mogen vernemen dan hetgeen
ad oon^elt dat goed voor hen is ofalthana niet schadelijk.*
mmm
1
m
ra
aSAO. R. F. >
TOOB
ONieSZIIlS GSTOBDEBDM OF OUBM LEEBLINeEH,
VERZAMFXÜ
DOOR
J. YERSLUYS,
TWEEDE STUKJE.
AMSTERDAM. — 1887. — W. VERSLUYS.
Grad. R. R. 3
9
Gedrukt bij Gebroeders Hoitsema te Groningen.
I
xx2x!' YIERKANTSVERGELIJKINGEN.
1. Bepaal op de eenvoudigste wijze de beide wortels der
vergelijking
(j? + 6) (x + 7) = 8 X 9.
7 21 _ 22 4a? — 35 36 — 5a; _
X* + 4a; 3.T* — 8a: a: ' * 5 5a?
a? + 3 . 16 — 2a? 3a?— 7 . 4a? — 10
6. a (1 + 2a?) — a (1 — 2a?) = 6 (1 — 4a?«),
7. 8a? (a — x) = a (3a — 2a?).
8. mqx^ — wwa? + pqx = np.
9. 8a?* -!- 6 (a — 26) a? = 9a6.
10. 6a?* + 9(a — 86)a?= 108a6.
11. 9a;* — 66a? = a« — 6*.
12. 25a?*— 106a? = a* — 6*.
13. 4a?* — 46j? — a* + 6* = 0.
14. 4a?* — 4 (3a + 26) a? + 24a6 = 0.
15. Geeft rechtstreeks een wortel op van elk der volgende
vergelijkingen :
x^ — o? = m* — w.
p X p a
. 1
a?H = 2.
X
X = 3|*
a?
a?— 5 4
1 z = H*
4 a? — 5
16. Zoek de waarde van A in:
^a?*+lla? — 30 = 5, als een der wortels — 3^ is.
17. Bewijs dat de som der kwadraten van de wortels der
vergelijking ax^ + 6j? + c = O gelijk is aan (6* — 2ac) : a\
ac
18. Op te lossen ex -\ ; — - =r (a + 6) x*.
a-\- o
19. —=— — ; — ^-4
a T. a\(x -\- 2c)
20. (4a2 — 9cd2) x^-\-\ {a^c^ -f abd"^ x + {ac^ + Jrf»)» = 0.
, , . ^a^x 6a2 + a6 — 26» h^x
2U abx^A = ■ —
c c^ c
2c^ ac X ia-^-VScx
22. ■^+-^~(«-6)l2c + ad)— = ï^-y (a«— 62)a;2.
X — a X — 3 1 a ar+a x-\-h a — h
23. ■ — = . 24. -7-tH — = •
2x x-\-a 2 6 x-jro x — a 2a
1 3a + 2a? 6 . 1
S{a+ 2x) 6 (a« — 4x^) ba 2 {2x — a)
. . .sl^—b x — a\ 2a«— 3è« , 6(2a + 36)
26. 2{a + b)\ r-T = h— — r-~'
^ Ma; — a 2x+2b! x-^a x + h
27. ax^ — a{x — h) = hx^ — h[x — a).
28. [x~a) [x—h)—2(x-\'a) {x—h)=2{x-\-a){x+h)—[x—a) (aH-6).
a -\- X h -\- X a , b
29. -\ '— = — -{
o — X a — X o a
a — X h -^r X a -j- x b — x
30. = •
b -{- X a — x b — X a + a?
31. Het jaartal 1874 wordt in een ander talstelsel 684 ge-
schreven. Men vraagt naar het grondtal van dit talstelseL
32. Bereken de waarden van x uit
(3 — \/5) x^ -f (14 — 6 \/b) a; = 5 + 5 }/b.
33. Vereenvoudig de breuk
x^-\- 2px-\-p^ — q
x^ + 2{p + Vq)x + [p + Vq)^
34. Welke betrekking bestaat er tusschen de coëfficiënten der
vergelijkingen
ax^ + 6a; + c = O en px'^ + ja? + r = O ,
als deze vergelijkingen éen wortel gelijk hebben?
o"
35. Bewijs dat de vergelijking 1 1=0, steeds
x—p x—q
twee reëele wortels heeft, welke ook de reëele waarden zijn
voor a^ b j p en q.
36. De boden A en B vertrekken elkaar te gemoet uit de
steden C en D. Toen zij elkaar ontmoetten , had A c
kilometer meer afgelegd dan B , en indien A den weg
van B en B den weg van A had afgelegd, zou A in a
en B in ( dagen op hetzelfde punt (het ontmoetingspunt)
zijn aangekomen. Men vraagt naar den afstand vai\ beide
plaatsen.
Antwoord: c (\/ft + V/a) : (\/6 — Va)'
37. Als een der wortels van de verg. ax^ + fta? + ^ = O de
omgekeerde is van een der wortels van de verg. a'a:*'* +
Vx + (/=0, heeft men (aa' — ccf = {ab' — bef) {a'b — Vc).
Bewijs dit.
38. Als ajj en x^ de wortels zijn van de verg. ax^ -\-'bx-\-c = Oj
vraagt men te bewijzen , dat
acx'^ + (2oc — b) X -\- ac = ac ix ^ j la: ^ j.
39. Als aan de vergelijking ax'^ + 6a? + c =^ O" voldaan wordt
door drie verschillende waarden van x^ zijn de coëfficiënten
üf b en c alle drie nul. Bewijs dit.
40. Bewijs , dat de som der kwadraten van de wortels der verge-
lijking x^ — (l + ö) a: + i (l -f- a + a*) = O, gelijk is aan a.
41. Voor welke waarden van x is — 3 + 4a? — 2a?* positief en
voor welke negatief?
42. Geef een waarde van x op , waarvoor \/ (6a?* + 17a? -f- 12)
een meetbaar getal wordt.
43. Zeg, zonder de vergelijking a?^ — I3a? + 36 = O op te
lossen, of de getallen 3 en 5 tusschen de wortels dier
vergelijking liggen.
44. Van welke vierkantsvergelijking zijn de wortels de omge-
keerden van die der vergelijking
aa?* + fta? + c = OP
6
45. Welk verband moet er bestaan tusschen de coëfficiënten
der vergelijking ax^ + ^^p -h c = O , opdat de eene wortel
der verg. gelijk zg aan — m maal den anderen P
Antwoord : ac (1 — w)* -|- mi* = 0.
46. Welk verband moet er bestaan tusschen a, & en c, opdat
de wortels der verg. ax^ + 6rr + c = O zich verhouden
als m : n P
47. Los op a^x = (a* -|- c\x^.
^« T hx-\- a h-X-x
48. Los op = — r .
ax — a a* — x
49. Z_+Ja: = — 1.
a a X
50. Welk verband moet er bestaan tusschen de coëfficiënten
van de vergelijking aos^ + 6t -|- c = O , opdat de som der
kwadraten van de wortels der vergelijking jp isP
(Antw. : 6* — 2ac = (J?'p).
51. Van welke vierkantsvergelijking zijn de wortels beide h
meer dan die van de vergelijking ax^ + 6a? + c = O P
52. Bepaal een vierkantsvergelijking, waarvan de wortels de
tweedemachten zijn van die der vergelijking ax^ + fta? + c = 0.
Antwoord : o^x^ — (6'* — 2ac) a: + c* = 0.
53. Welke vierkantsvergelijking heeft tot wortels de som en het
produkt van de wortels der vergelijking ax^ + 6a; + c = O P
Antwoord : ao^ + a (6 — c)x — 6c = 0.
54. Welke vierkantsvergelijking heeft tot wortels de quotiënten
der wortels van de vergelijking a?''*+jpa?-|-3 = OP
55. Bepaal de som der omgekeerden van de wortels der verg.
ax^ + 6a; + c = 0.
Evenzoo de som der kwadraten van die wortels.
„ » » » derdemachten „ „ „
„ » » » kwadraten van de omgekeerden der
wortels.
56. Zeg, zonder de vergelijking 6a;* + lx — 3 = O op te lossen,
of 5 tusschen de wortels dier vergelgking is gelegen.
^- -r öt*^* — 2a6a? x^ — 26a; ,6 — a
57. Los op h— 7
oc ac ab
ex — ax^ x-\-\ hx'^-^-h^ ac — b^
a^c b a^c bc
b — X a X — a,c — ax
58. = \- .
bx -\' ab c {ax-^\)c cx-\'ac
59. Los de vergelijking x^'^px-\-q = op, door te stellen
x = y-\-h en vervolgens h zoodanig te bepalen, dat de
komende vergelijking een zuivere vierkantsvergelijking
wordt.
60. Op te lossen de vergelijking
x^ — x = i^i (7 — 4 V3) -2 1^2(2— V/3).
61. Welke is de eenvoudigste vorm voor de vierkantsvergelij-
king, waarvan de wortels V" (6 — 2 \/b) en V (7 — 4 ^3).
{Limburg^ April 1874.)
62. Men heeft een rekenkunstige reeks ; de zesde term is juist
de helft van den veertienden; de tweede term is een vol-
komen vierkant; als men den vierden term met 2 ver-
meerdert en deze som door den wortel uit den tweeden
term deelt, bekomt men 2 meer dan deze wortel. Bepaal
de som der 100 eerste termen dier reeks? {Zwolle '73.)
Antwoord: 5250.
63. Een roeiboot kan een rivier over een afstand van 3,5 KM
op- en weer afvaren in den tijd van 1 uur 40 min. Indien
de snelheid van den stroom 2 KM per uur is, vraagt
men de snelheid der boot in stil water te bepalen?
Antwoord: 5 KM. (Van een verg. exam. 1874.)
64. De diepte van een put te berekenen, als men weet, dat
er t seconden verloopen tusschen het oogenblik, dat men
een steen laat vallen in den put, en het oogenblik, dat
men het vallen hoort.
65. De coëflBcienten van de vergelijking x^-\-ax-\-b = zoo-
danig te bepalen, dat wanneer p en ^ de wortels voor-
stellen, a, 6, p en 2 eene rekenkundige reeks vormen.
(Ex. Wiskunde j te Haarlem ^ April 1866.)
8
66. 't Verschil van twee getallen is 1. Telt men bij 't ver-
schil der kuben 't quadraat van 't eene vermenigvuldigd
met het andere, en trekt men daarvan af 't quadraat van
't laatste X 't eerste , dan bekomt men 25. Welke zijn
die getallen? (Verg, Ex, te Makkum^ 1859.)
67. De beide vierkantsvergelijkingen 6a^ + 13a? + 6 = O en
12a?* -I- lla? + 2 = O hebben één wortel gemeen.
Bepaal de wortels dezer vergelijkingen zonder de gewone
oplossingsmethode toe te passen.
68. Ontbind in twee factoren van den eersten graad
8a?''' — 7a? + 34 en 21a:2— 1616a; + 20748.
69. Los de volgende vergelijking op
, 3 , 21a;— 27782 1
80a; H x^ + = 1859 Bjp\
4 21 3
70. Bepaal de wortels der volgende vergelijking
a?+a.a?4-6. a* — 6a6 -|- 6*
1 T + 2 — r-. —r. = 0.
X — a X — o (a + o) (a — Sb)
Antwoord : i (a — 6) en — 4ab^ : (a^ — iab + b\
71. Iemand, die een som gelds groot a gulden heeft geleend,
kwijt zich van zijn schuld door twee jaren achtereen tel-
kens aan het einde van het jaar b gulden te betalen.
Tegen hoeveel percent 's jaars heeft hij geleend?
72. Te bewijzen, dat de wortels van de vergelijking
H =1
a? — p a? — 2
altijd reëel zijn, welke reëele waarden men ook toekenne
aan a, 6, ^ en j.
73. Bepaal a zoodanig , dat (a + 3) a;* -|- (a -|- 1) a; — (a — 1)
een volkomen tweedemacht wordt.
74. De voorwaarde te bepalen, dat
(a + 6a;)' + (a,+i,a?)2
een volkomen tweedemacht wordt. En bewijs verder dat
indien
(a + bxY -I- (a, + h,xY en (a + cx)^ + (a, -f c^x)^
9
Yolkomen tweedemachten zijn, ook
een volkomen tweedemacht zal zijn.
75. Hoe moet men a nemen, opdat een der wortels yan
3a?2 + (a — 1) a? + 3a + 2 = O
grooter zij dan 3 en de andere kleiner dan 2?
76. Hoe moet men c nemen, opdat de wortels van
ic (a? — 1) (c* — 3c -f 1) + 2c — 3 = O
het getal 1 insluiten.
77. Los de yergelijking 1 H = op en
X — a X -— o X -— c
bewijs, dat haar wortels reëel zijn voor alle reëele waarden
van a, & en c.
78. Bewijs, dat de wortels van
x-\-ax'\-bx'\-c
1 7 H = 3.
X — a X — o X — c
reëel zijn voor alle reëele waarden van a, 6 en c.
79. Bespreek de wortels van de vergelijking
(3m— l)a?^ — (2w+ l)x + m = Oy
als m verandert van — oo tot + oo.
80. Evenzoo van de vergelijking
{m^ + m — 2) x^ + (m+ 1) (2a? — 1) = 0.
81. Gegeven zijnde de vergelijkingen
ax^ + 6a; + c = O en
üiX^ -{- b^x -\- c^ =0,
stelt men A = (^^i — 2ac, — 2ca,)* — (6^ — 4ac) (6,'* — 4ajC,).
Bewijs, dat de voorwaarde, die noodig en voldoende is,
opdat A negatief zij, hierin bestaat, dat de wortels der
beide verg. reëel zijn en dat van elke verg. éen wortel
en niet meer dan éen, tusschen de wortels der andere
verg. zij gelegen.
82. In den tijd toen de effecten laag stonden, had iemand
2^ % Jïed. Werk. Schuld gekocht , zoodat hij , zelfs reke-
ning houdende van de 1 % korting op de coupons, goede
rente van zijn geld trok. Onlangs heeft hij die verkocht
10
voor 10 % hooger dan hij ze gekocht heeft, omdat hy
rekent 1 % minder van zijn geld te trekken , dan toen hij
de effecten kocht. Tegen welken koers netto heeft hg
ze gekocht?
Antwoord: Tegen 45 %.
83. Uit een vat wijn tapt men eerst 75 kan en vult het daarna
met water aan. Nu tapt men van dit mengsel i en valt
het ook verder met water aan. Hierna tapt men er 15
kan meer uit dan ^ en brengt er weder evenveel zuiver
water bij. Als nu de hoeveelheid van den nog aanwezigen
wijn tot die van het water staat als 9 : 11, vraagt men
het oorspronkelijke aantal kannen wijn.
(Ex. Wisk. Haarlem 1869.)
84. A vertrekt uit Y naar Z en legt dagelijks 8 mijlen af;
nadat hij 27 mijlen heeft afgelegd, vertrekt B uit Z naar
Y, en volbrengt dagelijks ^'^^ van den geheelen weg. Als
nu B bij de ontmoeting met A evenveel dagen heeft ge-
reisd , als hij dagelijks mijlen aflegt , vraagt men naar den
afstand van Y tot Z. {Verg. Ex, te Dirksland.)
HOOGERE-MACHTSVERGELIJKINGEN VAN DEN
TWEEDEMACHTSVORM.
1. Welke wortels worden ingevoerd als men de beide leden
van 4x^ = — 25 tot de tweedemacht brengt P
Bepaal wortels van de volgende vergelijkingen:
2. ic*-~ 12a?2=i3. 3. ir«+ Ha;3+ 21 = 0.
4. a;8 + 22a;*-f 21 = 0. 5. x^ + 3x'^ = 4i.
6. x^ — 4 a;^ = 2 V^.
7. Welke vergelijking heeft tot wortels -|-2, + 3, — 2 en— 3?
8. Op te lossen x^ + 4abx^ = (a^ — 6^)*^
9. Welke waarden kan q hebben in de vergelijking
a?* — 6a:^ + 2 = O ,
11
a, als al haar wortels reëel zijn;
&, als 2 wortels reëel zijn en twee imaginair;
c, als de 4 wortels imaginair zgn;
d y als twee wortels gelijk zijn ;
e, als twee wortels nul zijn.
H). Ontbind in 4 factoren van den eersten graad
x^— \3x^+ 36.
11. Bepaal een vergelijking, waaraan voldaan wordt door alle
waarden , die voldoen aan een der vergelijkingen
a:^ — 4a: — 1 1 = O en a:^ + 4aj — 1 1 = O ,
zonder deze vergelijkingen op te lossen.
12. Van welke vergelijking zijn de wortels de omgekeerden
van die der vergelijking 3a?* -\- bx^ — 8 = 0?
13. Een vierdemachtsvergelijking van den tweedenmachtsvorm
met meetbare coëflBcienten op te schrijven , die tot wortel
heeft V" 5 + V/ 3.
14. Hoe moet men a nemen opdat de vergelijking
(a — 2)x* — 2 (a + 3) x^ + (a — 1) =
vier reëele wortels heeft, of twee reëele wortels en twee
imaginaire , of vier imaginaire P
15. Bespreek de wortels van de vergelijking
(p — 2) a;* -f 4 (p + 3) a?*-^ + (p — 1) = O
als p verandert van — oo tot + oo .
16. Ga de veranderingen der wortels van de vergelijking
x^ + I2l{l - 6) — d'\ x^ + P \(l - 6f - a'l = O
na, als a en 6 standvastige getallen zijn, terwijl l ver-
andert van — 00 tot + 00 •
17. Bepaal de waarde van m als de wortels der vergelijking
a:* — (3m + 5)a;^ + (w + 1)^= O
een rekenkundige reeks vormen. Bepaal ook de wortels
van die vergelijking.
18. Ontbind in factoren van den eersten graad
a;* — 13a;2 + 36 = 0.
19. Schrijf een vierdemachtsvergelijking van den tweede-
machtsvorm op , die ook de beide wortels van
x^ — 12a: -|- 35= O tot wortels heeft.
1
12
20. Bespreek de wortels van de vergelijking
(3w — 1) ;2* — (21» + 1) 0* + w = O ,
als m verandert van — oo tot + oo .
21. Bewijs , dat de drieterm aa?* + 26a;* -f c , waarin de letters
reëele getallen voorstellen , altijd kan ontbonden worden
in twee reëele factoren van den tweeden graad ten op-
zichte van X.
22. Op te lossen ay* + 2 (a — 26) y * + a = 0.
Antwoord : ±\/b±V(b — a).
VERGELIJKINGEN, WAARIN DE ONBEKENDE ONDER
EEN WORTELTEEKEN VOORKOMT.
1. VCöiT-t-I) — 3-f 2a:=38 — 3a;.
2. 3V/(ir* + 5a;^--28,3l) = 2a;2H-ll,8.
3. 2a? + 3 + 2 V/(2a;+l)— 1 =5a; — 4.
5. V (a^ + x') : V/ (a^ — a;2) = m : n.
0,2a;2 — 4
8. ï^ {5 + V/ (27 — 2x^)1 = 2.
9. irV/ (ic^ + 231) = 2849 — a;^
aa;^ ■— 7a^ , , ,
V(x^+3x-^2) + V (3x ^ x' - 2) _
' \/(a;-^ + 3a;+2)- V/{3a;-a:*^~2) ^
12. Bewijs dat aan een vergelijking als
V/ (l + 4a;) — V/ (1 — 4a;) = 4 V^a?
in 't algemeen wordt voldaan door 2, i of geen enkele waarde.
IS+lsyx 60 + 12V/a; 17a;2
13.
öy/a; — a; 6 — V^a? (5V/a; — a;)(6 — V/a?)
19
14. De rechte lijn, die de toppen van twee vuurtorens hoog
40 en 55 meters vereenigt, raakt aan de oppervlakte der
zee. Zij is 49 kilometers lang. Bereken door middel van
deze gegevens den straal der aarde.
Antwoord: 6358 KM.
15. Bereken de onbekenden uit de vergelijkingen:
V(x + y) ^ y _ 11
N/(a;+y)8 4\/(a? + y)
en a; = y* + 2.
{Ex, Wisk, Leeuwarden 1874.)
16. Zoek de waarden van a?, die voldoen aan de vergelijking
V (20a? + 1) + V/ (3a? + 4) = V/ (7a? — 3).
{Ex. Wisk. Zeeland 1866).
17. Op te lossen (l -f a? + a?-*)* = a - (l — a? + a?^)^.
a /a^-4\*
Aktwoord : ± — \— •
2 W — 1/
18. Op te lossen
1 — \/ (1 — a?2) 1 + v/ (1 - a?2) a?
V.
19. Los de volgende vergelijkingen op en bespreek de wortels
\/ (6a? — a) + 4a? — 3a = O
a? + V/ (2a? — a^) = 3a
2x — V (a?^ - a*) = 4a
\/ (a -f a?) + V/ (« — a?) = Vöt.
20. Los de volgende vergelijkingen op
V/(a?2 — 3aa? + a^) + \/(a?^ -f 3aa? + a^) = a (V/29 + V/10)
V/i(l+iï?)^ — öw?| — V/Kl —x)^ + ax\=x,
V/(l 4-a?+ a?2) 4- V/(l - a? + a?2) = a,
(ö + J)V(a^ + ft' + a?2)-(a-ft)V/(a^ + 6^-a?2)=a^4-i^.
EIGENSCHAPPEN VAN DEN DRIETERM
ax^ + 6a? -|- c.
1. Voor welke waarden van a? heeft men
3a?2 + 4a? - 7 > O ;
2a?2 — 7a? + 1 > O ;
a?^ + 8a? — 3 > 0.
14
2. Hoe yerandert de drieterm x^ ^ Qx-^-lb als men x laat
veranderen van — oo tot + « P
3. Zijn er waarden voor Xj die voldoen aan de ongeUjklieid
x^—ex+ 5< OP
4. Zijn er waarden voor y, die voldoen aan de ongelijkheid
-y' + 6y-9>0P
5. Welke waarden van z voldoen aan de ongelijkheid
2^2 _ 32? + 7 > O P
6. Welke waarden van x voldoen te gelijk aan de volgende
betrekkingen
a?*4-a? — 6=0ena;« + 3a?— 4>0P
7. Welke waarden van x voldoen aan elk der volgende
ongelijkheden:
a?2— 12a; -f- 32 > O en ir^ — 13a;+22<0P
8. Evenzoo voor a;^ — 9a; + 30 < O en 5a;* — 7a; + 1 < 0;
9. Voor welke waarden van x is 4a;® — 10a;* -|- 48a; < OP
10. Op te lossen de ongelijkheid a;* — 13a;* + 36 < 0.
1 1 . Door welke waarden van x wordt voldaan aan de ongelijkheid
(3a;* — 2a;« + 4) (5a;* + 8a;* — 1)< OP
12. Tusschen welke grenzen kan x veranderen, als
V (po^— 43a;« + 225)
reëel moet zijnP
GROOTSTE EN KLEINSTE WAARDEN.
1. Welke is van alle rechthoekige driehoeken met dezelfde
hypotenusa het grootst P
2. In een gegeven driehoek den grootsten rechthoek te be-
schrijven.
(Antw,: Het oppervlak van den rechthoek is de helft
van dat des driehoeks).
3. In een gegeven vierkant het kleinste vierkant te beschrij-
ven. (Het gevraagde is de helft van het gegevene).
4. Bepaal onder alle rechte cilinders , met denzelfden inhoud,
dien welke het kleinste oppervlak heeft.
15
5. Hoe moet een bak, die van boven open is, den yorm
van een rechthoekig parallelepipedum heeft, en een ge-
geven inhoud bezit , gemaakt worden om voor zijn wanden
de minste bouwstof noodig te hebben ?
(Antw.: de hoogte moet gelijk zijn aan de helft van elk
der 2 zijden van 't grondvlak).
6. Evenzoo voor een rechten cirkel-cilinder.
7. In een gegeven bol den grootsten cilinder te beschrijven*
(Men vindt I = 4 ir r» : 3 \/ 3).
8. Onder alle rechte cirkel-kegels, die gelijke oppervlakken
hebben , den grootsten te bepalen.
9. Onder alle rechte cirkel-kegels van gelijken inhoud, dien
te bepalen , welke het kleinste oppervlak bezit.
10. Onder alle cilinders van denzelfden inhoud I dien te be-
palen, waarvan de omgeschreven bol het kleinst is. (Men
vindt h = ^2l:}^7r).
11. Welke waarde moet men aangegeven, opdat a?^ + (6 — a?)*
zoo klein mogelijk worde?
12. Bepaal de grootste waarde, die
V/ar+ V(12 — ar)
kan verkrijgen, als men aan x alle mogelijke waarden
mag geven.
13. Bepaal de waarde van o;, die
a^ — 4x+16
2a? + 2
zoo groot of zoo klein mogelijk maakt.
14. Bepaal de kleinste waarde van
a« , a» aft , i«
+ en van 1-
X a — X y a — y
15. Als X verandert van — oo tot+ oo, tusschen welke gren-
zen is de breuk
2x^ + 5a; ~ 3
6a:2 — a; — 2
dan positief en negatief?
16
16. Op te lossen de ongelijkheid
a;* — 5a: + 6
-^ — >i-
a?* — 5a: + 4
17. In een gegeven cirkel den grootst mogelijken gelijkbee-
nigen driehoek te beschrijven.
3a:*— 12a: + l
18. Voor welke waarden van x zal tt-z ^^^ maxi-
x^+2
mum of minimum worden? (Zwolle 1880.)
19. Yind de maximum- en de minimumwaarde van
a:^ + 3a: + 5
a?+ 1
als X alleen reêele waarden kan verkrijgen.
Antwoord: \ en 5^.
20. Bepaal de maximumwaarde van
3a:^— 12a? +1
a:^ + 2
als X steeds reëel moet zijn.
Antwoord: — 1,89. 1,05 is de minimumwaarde.
21. In een A ^^^ rechthoek te construeeren , wiens inhoud
zoo groot mogelijk is. [Ex. Zwolle 1879.)
Sx^— 12a: +1
22. Voor welke waarden van x wordt de breuk r~r~z
a:*+ 2
een maximum of minimum? (ld.)
23. Op een rechte lijn zjjn twee punten A en B gegeven.
Langs een tweede rechte lijn, die de eerste kruist, gl^'dt
een stuk van bepaalde lengte CD. Men vraagt de plaats
van dit stuk zoodanig te bepalen, dat het oppervlcük der
piramide ABCD een minimum is.
24. Een viervlak ABCD zoodanig te snijden door een plat vlak ,
evenwijdig aan de ribben AC en BD, dat de doorsnede
EFGH een minimum is.
26. Bepaal het mdximum van een gelijkbeenig trapezium,
waarvan de kleinste der evenwijdige zijden en de beenen
een gegeven lengte a en 6 bezitten.
COMPLEXE GETALLEN.
1. Herleid 1^ — (a^ + ^"7' en |?^ - (3p — 2qy\
2. Bepaal de som van
V/ — (w — ny^j V/ — (w^ — 2mn + n^) en + \/ — 64wW!
3. 3V/ — 16 — 3 V/ — li+V/ — 4 — 2\/ — 36 + 8V/- i =
4. V/ -«''*' — —V/-a*^H-3ai»V/— 4- + «V/ -** =
a o
3» 3» 3»
5. Herleid V — a^^^^ + X/ — a — V — *^ als w een geheel
getal is.
6. Herleid V — a:*« + »y6p _ y ^ ^ ^f-yp + 2 V — rr** V^S
als n een geheel getal is.
7. vereenvoudig 1 ; •
ür — V — ^ ;r + \/— a?
8. Bereken a^ — 2x-r2 als x= \ ±\/ -- \.
9. (V/ — i)** + (V/ — i)^^-i + (V/ — l)*»+^-^(V/ - 1)*'»+^
10. (V"— 1)^"*^ — (V/ — l)2»1-3_|_(^_l)3» + 8_|_(y/_i)3« + 4^
11. (v/-i + v/~2)^
,^ fV/(a"-:g^) + a?V/-l}^- {V/(a^-^^)~^V/-ir
IM. — ^ — ■ — — ,
2 V/ — 1
13. Ontbind 9a^-\-46^ in twee complexe factoren van den
eersten graad.
14. Herleid V" 2 (8 + 15 V/ - 1) 4- V/ 2 (8 — 15 \/ — 1).
15. Deel — 46 — 43 V^ — 3 door 7 — 4 V/ -- 3.
16. Deel35 + 10V/— 3~21V/— 7 + 6V/21 door5 — 3V/— 7.
17. Bepaal de vierkantswortels uit a'^ — ê + 2a V^ — *•
18. Bepaal de som van V/ — (« — *f , — V — (« — 2i)^
V - 4a^i2 en ~ y/ - 4 (a - «y-".
2
18
19. Ontbind a;^ — 1 in zes factoren van den eersten graad.
20. Deel4V/3 + 6V/2+2(V/ — 2 + V/— 3) door V" 2 — y/ — 12.
21. Bepaal de drie derdemachtswortels uit + 1 en — 1.
22. Bepaal de drie derdemachtswortels uit
45 {75 — 2a) — i (675 - 2a) V 2a.
23. Deel 4a* + 5a'^''* -f- ** door 2a + ê V" — 1.
24. Deel x^ + 2x^y + 2xtj^ + y' door V x + V — y-
25. {Se+l3x + x'): {(d + x){2 + V —x)] =
26. Welke is de vierkantsvergelijking waarvan — 10 + V/ — 12
en — 10 — \/ — 12 de wortels zijn? Bewijs uwe rede-
neering. {Verg, Ex, te Apeldoorn 1855).
Antwoord : a?'-* + 20a; 4- 1 1 2 = 0.
27. Verhef \/ a — \/ — * tot de 5de macht.
^« il 3 4-\/--l 11~13V/ — 1
28. Als — ■ = , zeff dan rechtstreeks
2 + 5 V/ — 1 29 ' ^
3 - \/ — l
waaraan ffeliik is.
2 — 5 V — 1 ^ "^
29. Bereken de waarde van
x^ — 12a;3 4- 530?*^ — 108a? + 90, als o? = 2 — V — 2.
30. Ontbind rc^ — 1 in drie reëele factoren van den tweeden
graad.
31. Deel 35 + 10 \/ — 3 — 21 y/ — 7 + 6 V/21 door den vorm
5 — 3 V/ — 7.
Antwoord : 7 + 2 V" — 3.
32. Herleid — !-— dz — -— : •
a — 01 a + 01
33. Deel 70 door V/ — 12 — V" — 5 + V/ — 7.
34. Wat is de waarde van: a?* + x^ + 7x^ — 9a; + 36, als
a?+3 — 2\/— 3 = is.
3o. Herleid ± ;
p + qV - 1 p-qV -l
36. Deel 1 door 2 + V/ — 3 — V/ — 5.
37
37. Herleid ; — — -•
V/ (13 V/ — 1 — 9 V/ — 3)
38. Deel V" (28 V/ — 3 — 84) door V^ (9 — V — 3).
19
39. Herleid den vierkantswortel uit
4aè -^ 2 {a + /j) {a — i) V — l.
Antwoord : ± [a -\- d -\- (a — 6) \/ — 1\.
40. Herleid 2 y/ 5- (3 y - 5 - 10 y/ - 1)
2 — (3V/-1 — 2V/— 5)
41. Als \/ (2 V/ 2 + 2 V - 3 + 2 V/ — 6) gelijk is aan 1 +
V/2 + V'— 3, waaraanisdan V'(2V/2 — 2V/— 3— 2V/— 6)
gelijk P
42. Herleid -|^ {— 23 + 84 V/ - 2).
43. Deel V (3 y/ — 2 - 6) door \/ (4 — \/ — 2).
44. Voor welke waarden van x stelt
V (x^ — 2a; — 2) + V^ (— 1 + 2a? — 4^;^)
een reëel getal voor , voor welke waarden een complex
getal en voor welke waarden een imaginair getal?
45. Schrijf een vierdemachtsvergelijking van den tweedemachts-
vorm met reëele coëfficiënten op, die 5 — 2\/ — 1 tot eenen
wortel heeft.
46. Schrijf de wortels der volgende vergelijkingen
3^* — 7a?^ + 20 = O
15a?*— 8a?*^-j-10=0
voorzoover zij niet reëel zijn in den vorm a-]-b\/ — 1.
47. Bepaal de wortels van de vergelijking
(2 + \/ — 1) a?2 — (1 + 2 \/ — 1) a? + (3 — V/ — 1) = 0.
48. Herleid \/(— ll-h6V/2 — 4V/3 + 2\/6).
(Ex. Wisk. Zuid'Holland, 1874).
49. Herleid i?/ (2 + 11 V — 1).
50. Zoek de wortels der vergelijking
f^^' + TïV3^V-7 + +i = 0.
51. Deel 2tK15 + 2"|K5 — t^48 door i^ — 3 — "|K — 5.
3-i-2V/— 3 — 3V/— 2 2V/ — 1
52. Herleid V :f^
2V' — 6 " 1— V/— 3-V/— 2
53. Bewijs dat het produkt van twee getallen, die ieder de
som van vier tweedemachten zijn, ook een som van vier
tweedemachten is.
2*
20
54. Bepaal twee zesdemachtswortels uit
64 2160^-* . 486 V*
m^-'-^^->-)
waarin i = \/ — l.
55. Herieid tot de eenvoudigste gedaante:
{Ex. Wiskunde te ^sHage^ April 1864),
KUNSTGREPEN.
1. Bereken x als 2a?' — 120 = o? y/ a?.
2. a;'-*+15a? — V (a?^4-15a?) = 90.
3. (x' + x+iy-}-(x' + x-\-l)=\2.
4. a?2H-12a?+36H-5 V/(a?"^+ l2a? + 36) = 594.
5. a?+7\/a? = 30.
6. ■]?/a?2_^.iJ/a; = 3.
7. -p/ «•-* — 6 = — l?/ a?.
n 2»
8. a\/x-\-b\/x=^c.
9. a?^ — 3a;^ = 54.
2 I
10. «^ — ax^ = ^.
11. Wat zijn de waarden van x in de vergelijking
(a;2 _ 8a? -f 1 1)2 -f (X — 4)2 = 25.
12. Welke zijn de waarden van x in
ly [m — x) — 1^ {n — a?) = j9 ?
13. Bepaal de waarde van x in de vergelijking
"l^a:' — 2V/x + a: = 0.
Antwoord: O en l. {Zeeland^ Oct. 1873).
14. Eveneens in de vergelijking
X* — 6a?3 -j- 7x^ 4- 6a? — 8 = 0. (ld.)
Antwoord: 4, 2, 1 en — i.
15. En ook de waarde van a; en v in de vergelijkingen
— ; ; — = 44 en — ; — ^, = ój%. (Ia.)
Antwoord: x = jf^ (39 ±: V^ — 559) en
y = — rii,(l70zh3\/-ö59).
16. Welke waarden voldoen aan de vergelijking
1 000a?i«g- ^* - s i«K- * = 1 . (7d.)
Antwoord: 172,21 en 0,0058.
22
17. Op te lossen de vergelijking
{x^ - 8a? + 11)2 + (a; — 4)*^ = 25.
Antwoord: 1, 4 of 7. {Ex. Wisk. Zeeland 1866).
18. Op te lossen X^ (i + xf — ^ {\ ^ xf = ■)/ {\ — a?^).
,0 T .,V{x'+x + ^) 20-^V/(x 2+a?+6)
19. Los X op uit ^= ^ ., . ; -.
20. Op te lossen 2x1^ x—'èxiy — = 20.
X
Antwoord : ±: ö en zh | l/— 3.
^ 115
21. Op te lossen x^u + xy^ = 30 en 1 = — .
X y ^
22. Op te lossen het volgende stel
x' + xy + y'=%l
x^-{-xz +z^ = 28
y' + yz+z^ = ld.
(Opgelost in: Het Oplossen van Algebr. Vraagstukken).
23. Zoek alle waarden, die voldoen aan de vergelijking
V (3a?2 + 2» — 17) + 3a?2 = 173 — 2a?.
2 5 1
24. \ = 3 A
X Sy ' z ^^
1,1 2
5 14
DO? y 2r
25. a;*^ + y^ + 2r2 = 3i(a^ + y) = 4J(^ + 2^) = 2|(y + 2r).
26. p (a?3 4- y») = 2 {a;2 -f 2;^) = r (i/'^ + 2?'-*) := ayar.
27. (x-jr z) = 2Vj u-]- v = 2z, vz = m en u^^-\-x^ = n.
28. a: -f- y -f- 2r = a , a:2f + y = /? en a?^ + y^ + 2?' = c.
29. (a;— 1) (3 — a;) (5 — x) (7 - a?) = 15.
30. (1 —x)(2+ x) (4 - a:) (7 — a?) := 80.
31. (a — a?)* + (a? — è)^ = c.
32. Als men uit het stel vergelijkingen
xy + yz + zx = Oj
ayz + hzx + cxy = O ,
6cy2f 4" ötca?2? + öf^^y + (öt — i){b — c) [c — d) xyz = O
\
23
behalve de waarden O en onbepaald vindt x = , zeg
dan, zonder de vergelijkingen op te lossen, wat de waarden
van y en z zijn , die met deze waarde van x overeenkomen.
33. x + yz=2VjVy = a,u-{-v = 2yerïit,v = c.
_ , a? , Va b
34. Op te lossen — ; H =
a + x V (a + oj) a
35. Bepaal de waarden van a? en y, die voldoen aan de ver-
gelijkingen
« + y + V (a? + y) = 2 en a?3 -f y3 = 19.
36. -^xy = o? + y en a?* + y* — ^y = 27.
37. x^ + y^=lS en !£^'ry^ = n+a'y.
38. Yx-\-yy = benx-}-y — yxy^l.
39. (a: + y) (a? — y) = a en {x — y) {x^ + y^) = ab.
40. a:'^ + a; + y = 439 en a:y + ^p^ = 2240.
41. Van twee getallen is het verschil vermenigvuldigd met
het verschil der derde machten 196, en de som dier ge-
tallen vermenigvuldigd met de som der derde machten
1216. Welke zijn die getallen P
(Ex. Wisk. Zwolle, April 1874).
42. x^ + xz=l^ en x'^-\- z^^ x -^ z=S.
y'^z-\-vx=:^v-\-yz-\-l'=z en t?;^ + a? + y = 10.
43. {x - af -f (ft — aj)5 = c
(X — \f + (4 — xf = 33
X* -f- (a — xY = a*.
44. Op te lossen het stel vergelijkingen 4y^ — a^ = a?
4 , 4+y 8 + 4y , 12y^
y y X x^
(Opgelost in: Het Oplossen van Algebr. Vraagstukken).
45. Zoek al de waarden van x in de vergelijking
^^x^ — 2 = 0.
{fyam. Wiskunde Groningen, 1866).
46. Bepaal de waarde van x in de vergelijking i^ x^ — 2 )/ a? +
a? = 0. {Exam. Wisk. Zeeland, Oct. 1873).
47. Eveneens in de vergelijking x^ — 6aj' + 7a;^ + 6a? — 8 = 0.
{Exam. Wisk. Zeeland^ Oct. 1873).
24
48. En ook de waarden van a; en y in de vergelijkingen
l + ar + jB» 1 +*+/_» 1
1 + 7+? = '* "" l+y + x^-''*"'
(Exam. Wisk. Zeeland ^ Oct 1873).
49. Zoek 3 gedurig evenredige getallen zoodanig, dat wanneer
men het getal 30 door elk dezer getallen deelt, de som
der quotiënten zoowel aan het product, als aan de som
dezer getallen gelijk zij. (Ex. Wisk. Arnhem j 1868).
50. Een belegerde vesting kan volgens berekening nog 12
dagen weerstand bieden; als er 120 man uitgaan en ieder
dagelijks f pond brood minder ontvangt , kan de vesting
het nog 16 dagen uithouden. Even lang kan de vesting
weerstand bieden, als er 200 man uitgaan en ieder dage-
lijks f pond minder ontvangt. Hoe groot is het aantal
manschappen en hoeveel pond brood ontvangt ieder man
dagehjksP [Ex. Wisk. Zwolle, 1864).
Antwoord: 1200 man en 3f pond.
51. Welke waarden van x en y voldoen aan
X/^ + l^y = Xy Cf en xy = P?
52. Op te lossen {x-\'if) {xy + 1) = axy en
[x' + y')[xY+l)=-h^y^
53. Op te lossen het volgende stel vergelijkingen
(X -{-y)(\+xy+ x^y + xy^ + ^r^y*-*) + ary = a
^ (^ + y) (* + y + a^y) (^ + y + ^y + ^^y + ^f) =, *•
54. Drie getallen vormen een meetk. reeks. Wanneer zij of
met het kleinste of met het grootste te beginnen , als de
gedeeltelijke producten eener gewone verm. onder elkander
worden geplaatst , zoo geeft de optelling p en q; welke
zijn de getallen?
55. Vermenigvuldigt men de som der 5 getallen a, b , c, d
en e eerst met de som van a, i en c, dan met de som
van 6, c en rf, vervolgens met de som van c, rf en ^ en
eindelijk met die van a, 6 en c, zoo zijn de produkten
J9, 2, r, s en ^. Vrage naar de getallen.
56. Welke is de waarde van x in Qjc^ — lla?^ + 6a? — 1 = 0.
(Ex. Wisk. '5 Hage).
25
57. Los het volgende stel vergelijkingen op met behulp der
ontbinding in factoren
axyz = a-\-m-]rin{x-\'Xij)
hxyz =^h '\- m -\- m {y -\- yz)
cxyz ^=-c-\-m-\-m[z-\- zx\
58. Los het volgende stel vergelijkingen op
aft - i (a + 6) (a? + y) + ^y = O
cd — i (c + d) (o? -f- y) -f- ^^ = O
en leid uit deze vergelijkingen af, dat
{x. — yY _ (a — . r> {a — d) {h — c) {b -^ d)
4~" "~ {a + b — c—df
59. Op te lossen xy =abj a**x*^ + 6y = 2 1/ a"*6"a;"*y«.
60. Los op X (f/ + 0) = 2a , y{z-]-x) = 2b^ z{x-\-y) = 2c.
_ x^ -\-' xy -\- y'^ x^ — xy -V tP'
61. Eveneens ; ^=i> ^n '—^=q,
x-\-y x — y
62. Bepaal a; en ^r uit ^r + J' + 3 j^ axy = a en 1/ (a:^ + 1?^^V'*) "^
63. Bereken a: en y als [x + y) (j-y + 1) = 18^y
(a:^ + y-^)(a;y+l) = 208:cV.
64. Los op a; + y + 2:=13, .r^ + y'* + -2^'* = 6 1 , 2yz'=x{y'\-z).
65. Bereken de rechthoekszijden van een rechthoekigen drie-
hoek, als de schuine zijde c en de hoogtelijn h op de
schuine zijde gegeven zijn. Bespreek de uitkomst.
66. De zijden van een re6hthoekigen driehoek te berekenen,
als men zijn omtrek 2.9 en zijn oppervlakte m^ kent.
Bespreek de uitkomst.
67. De afmetingen te berekenen van een cilinder, die be-
schreven is in een bol, waarvan de straal R is, als de
geheele oppervlakte van den cilinder gelijk is aan die van
een cirkel welks straal a is.
Ga na wanneer twee cilinders aan het vereischte voldoen
en wanneer er slechts 1 is.
68. Een evenredigheid te bepalen, als de som der middelste
termen 2s is, de som der uiterste termen 2^ en de som
der tweedemachten van de 4 termen Aq^,
26
•
69. Een evenredigheid te bepalen, als men de som is der
termen kent, de som it^ van de tweedemachten der termen
en de som id^ van de derdemachten der termen.
{Ex. Wisk. Zeeland).
70. De termen eenér evenredigheid te vinden, als men kent
het verschil der middelste termen, het verschil der uiterste,
en de som der vier termen.
71. De termen eener evenredigheid te vinden, als men kent
het produkt der middelste termen, het verschil tusschen
de som der uiterste en de som der middelste termen en
de som der kwadraten van de vier termen.
72. De termen eener evenredigheid te bepalen, als gegdvan
zijn de som der uiterste termen a, de som der middelste
termen b en de som der kuben van de 4 termen k.
73. Op te lossen het stel x^ +x^y^ +y^ = «
m m
Qi^-\-x^y'^ +y'* — b'K
74. Bepaal de waarde van a?, y en uit
{x + y + zy = 5y'+Six + z)
z^ = x^'{' y\
75. Op te lossen het volgende stel vergelijkingen
3;r + 3y — 2; = 3
a?^ + y'— 0'=7 — 4i;^
u^^ + y'' + z^ = Sxyz + i\z + n.
76. Los het volgende stel vergelijkingen op met behulp der
ontbinding in factoren:
^ + y*** + y^^ = a (^^ — O
y -]- z'^-\- zj^ = h {xyz — 1)
2; + a?* + xy'^ = c {xyz — 1).
Men beginne met de vierkanten der onbekenden te eli-
mineeren. J. N. Noêl,
77. De termen eener evenredigheid te bepalen, als gegeven
zijn het verschil tusschen de som der uiterste en die der
middelste termen, het verschil tusschen de som der kwa-
draten van de uiterste en die van de middelste termen,
27
en het verschil tusschen de som der kuben van de uiterste
en die van de middelste termen.
78. Op te lossen het volgende stel vergelijkingen
x^ + inf + y^ = c^
z^-i- zx-^- x^ = V^
y^ + yz + z^ = a^
(Men zoeke eerst xy-\-yz -j- zx te bepalen).
ONBEPAALDE VERGELIJKINGEN VAN DEN
EERSTEN GRAAD.
1. Welke geheele positieve waarden van a? en y voldoen aan
de vergelijking
- 2^ + 0,1 gx + 4,5y + 10= ^ +111?
2. Welke geheele negatieve waarden van x en // voldoen
aan de vergelijking
3 ■ — ^=15 + -^ ?
9 3
3. Bepaal de geheele waarden der onbekenden, die voldoen
aan het volgende stel vergelijkingen
ir-\- y -\- z= IQ
x-r y — u = 9
y — 2 -\- u = i.
4. Welke zijn de geheele positieve waarden van x, y en z,
die voldoen aan de vergelijking Sx+ by -\- lz = i],
(Exam. Wisk. Zeeland, "OcL 1873).
5. Welke zijn de geheele positieve waarden van x, y en z
in de volgende vergelijkingen:
2x-{-6y — 7z = 22 en Sx + éy — Sz = 0?
{Ex, Wisk. Zeeland).
6. Bij 't getal 37 voegt men telkens 13. Zoodra de som
meer dan 1000 is, trekt men er 1000 af, en telt bij de
rest gedurig weer 13. Hoeveel malen zal men 13 moeten
bij tellen om 77 te krijgen? (Ex. Wisk. 's Hage 1874).
7. Welk getal van 3 cijfers is gelijk aan 35 maal de som
zijner cijfers?
8. Van drie personen tusschen de 60 en 80 jaren oud, is de
gezamenlijke leeftijd 200 jaren. Als het verschil in ouder-
29
dom tusschen den oudsten en den jongsten y^ van de som
van beider jaren is , vraagt men naar ieders ouderdom.
{Ex. Wish, Zwolle 1867).
9. Welke twee op elk.ander volgende termen der rekenkundige
reeks 3, 7, 11, 15, enz. zijn respectievelijk deelbaar door
5 en 7 , en na hoeveel termen zal men weder twee termen
vinden, die evenzoo voldoen?
{Ex, Wisk.^ Zuid-Holland^ Oct. 1874).
10. Dertig personen, mannen, vrouwen en kinderen, hebben
samen f 69,60 verteerd. ledere man heeft ƒ4,20 verteerd,
iedere vrouw f 1,65 en ieder kind 30 cent. Hoeveel
mannen waren er, hoeveel vrouwen en hoeveel kinderen?
11. Vier personen moeten f 14100 deelen. A moet hebben
ODAX gulden, uitgedrukt in het 10-tallig stelsel, B
het door dezelfde getalmerken uitgedrukte getal in het
9-tallig, C iii het 8-tallig en D in het 7-tallig stelsel;
hoeveel ontvangt ieder?
(Vergel. Examen^ Enschedé 1867).
ONBEPAALDE YERGELIJKINGEN VAN DEN
TWEEDEN GRAAD.
Welke geheele positieve waarden voor x en y voldoen aan
de volgende vergelijkingen?
V. x^ + 3xy — 205 + 2y = 8. 2\ x^ — Sa:y — 4a?+ lOy = 12.
3% 2x^ + Bxy—ix-^2y = 20. 4\ x^ — 2xy-\-y = i.
b\ 3a?2--4;ry+ a? + y = 7. 6*. Sx^ — 2iry -\- 9y — 6x = 21.
7\ Twee geheele positieve getallen te vinden, waarvan het
produkt 3 grooter is dan de som.
8^ Twee geheele positieve getallen te vinden, waarvan de som
21 grooter is dan het quotiënt.
9^. Twee geheele positieve getallen te vinden, waarvan het
produkt 4 maal zoo groot is als de som.
lO'. Door welke geheele positieve waarden van x en y kan
aan de vergelijking
xy—l0 + 2y^= 2x^ + 3a?
voldaan worden?
11% Vind de geheele positieve waarden van «ten y in
iry + 3a: — 5y = 106.
{Verg. Ex. Nieuwerkerk ald IJsel^ Sept. '75).
Antwoorden, r. a; = 2 en y=l.
2\ x = 2 en y = 4, of 3 en 15, of 14 en 4, of 46 en 15.
3\ x = l en y = 22 , of 2 en 5 , of 3 en 2.
i\ x = S en y = 1 of a? = 8 en y = 4.
5% a? = 2 en ^ = 1 , of 4 en 3 , of 9 en 7.
6% 07=3 en y = 4, of 5 en 24, of 6 en 17, of 13 en 24,
of 30 en 49.
7*. 2 en 5, of 3 en 3.
S\ 38 en 2; 27 en 3, 20 en 5; 18 en 6; 11 en 11.
9*. 20 en 5; 12 en 6; 8 en 8.
31
12% Vind eenige waarden voor o? en y, opdat voldaan worde
aan de vergelijking Ix^ — 3a? + hxy — 2y — 37 = 0.
{Exam. Wisk. Zwolle 1874).
13% Hoe bepaalt, men de getallen, waarvan de som der vier-
kanten weer een vierkant is. {Ex. Wisk. Zeeland 1874).
Welke meetbare waarden voldoen aan de volgende ver-
gelijkingen P
16% y' = x'^+bx + l2. 17% f = bx' -j- 7a: + 1.
18% z'^ = 2x^ + 6a; 4- 4. 1 9% y'* = IOj?^ + 29a; + 2 1.
20% y'^ =2\z^+22;— 20. 21% y^ = 2x^ + 2.
22% y^ = 6 + 13a; + Qx\ 23% z^ = Sx^ + 46.
24% 2y^ — y = bx'^+Sx + 7. 25% 3^-* + y = 70?^ + 4a; + 5.
26% 3a;'^ -|- Qx = y'^+ 2y. 27% éx'^ + 3a; + 6y = lOxy.
28% y"'* = a;''2+ 1. 29% y'^ = a;^ — 1.
30% 7a;''* — 3a; -|- 6xy — 2y — 37 = 0.
31% Bepaal de afmetingen van een rechthoekig trapezium, zóó
dat de zijden en een der diagonalen door geheele getallen
worden voorgesteld.
32% Welke zijn de drie op elkander volgende getallen, die
de eigenschap hebben , dat hun som door 6 en die der
kwadraten door 11 deelbaar isr (Zwolle 1873).
33% Zoek twee getallen, waarvan de som, zoowel als de som
hunner tweedemachten en de som hunner derdemachten
vierkantsgetallen zijn. (Verg. Ex. te Aduard^ 1866).
34% Hoeveel geheele positieve waarden zijn er, die voldoen
aan de vergelijking a;-f-y + a;y = 61.
{Ex. Wisk. Noord-Holland^ 1865).
35% Twee geheele getallen te vinden, waarvan het produkt
100 meer is dan 2 maal het verschil.
36% Zoek in geheele getallen de zijden van een rechthoek,
waarvan de oppervlakte door hetzelfde getal wordt voor-
gesteld als de omtrek.
VERSCHIKKINGEN EN VERBINDINGEN.
1. Men vraagt de som te berekenen van alle getallen van 4
cijfers, die men met 4 verschillende getalmerken, wier
som 18 is, kan samenstellen. (Woude 1875).
2. Hoeveel verschillende waarden verkrijgt de uitdrukking
|/'a + "l/'6 + "l/'c + l/d + enz. tot k termen , als elke
wortel zoowel negatief als positief kan zijn?
Antwoord : 2*.
3. Hoeveel platte vlakken kunnen ieder door 3 van n punten
gaan?
4. Hoeveel viervlakken kunnen er zijn, wier hoekpunten 4
van n gegeven punten zijn?
5. Hoeveel verschillende sommen kan iemand betalen als hij
in zijn zak heeft: een rijksdaalder, een gulden, een halven
gulden, een kwartje en een dubbeltje?
Antwoord : 2* — l .
6. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 5 voorwerpen
verdeeld worden in 2 pakjes?
Antwoord: 31.
7. Op hoeveel verschillende manieren kan men de volgende
letters links en rechts van een streep plaatsen
a, a, a, a, b ^ 6, 6, c, c, d.
Antwoord : 5 X 4 x 3 X 2.
8. Op hoeveel verschillende manieren kan men zeven per-
sonen in een kring plaatsen?
Antwoord : 1X2X3X4X5X6.
9. Wanneer men alle mogelijke combinatiën vormt van 10
elementen, vraagt men hoevelen een oneven aantal ele-
menten bevatten. {Ex. Wisk. Zeeland 1874).
33
10. Welk is het grootst aautal punten, waarin U lijnen elkander
kunnen snijden? Bewijs de formule.
{Ex. Hoofdond. Zeeland 1872).
11. Als P evenwijdige lijnen door Q andere evenwijdige lijnen
worden gesneden, hoeveel afgesneden deelen heeft men
dan ? (ld.)
Antwoord : 2PQ — (P + Q).
12. Hoeveel combinatiën 3 aan 3 kunnen er uit 5 elementen
gevormd worden? (ld.)
13. "Wat is het grootste aantal gewichten, dat men kan krijgen
door 5 verschillende gewichten samen te voegen?
Antwoord: 2* — I.
14. Op hoeveel manieren kan men een produkt van 2n factoren
ontbinden in produkten van 2 factoren ieder?
15. Op hoeveel manieren kan men een produkt van Sn factoren
ontbinden in produkten van 3 factoren ieder?
16. Op hoeveel manieren kan men een produkt van mn fac-
toren ontbinden in produkten van m factoren ieder?
17. Een getal te vinden, dat 20 deelers heeft, het getal zelf
en de eenheid meegerekend.
18. Op hoeveel manieren kan men 40 kaarten verdeelen in
een hoopje van 7 en een hoopje van 33?
19. Met drie verschillende cijfers kan men zes verschillende
getallen vormen. Deelt men 5 daarvan door de som der
cijfers, dan zijn de quotiënten 26, 27, 36, 47 en 48 en
de resten nul. Wat zal het quotiënt zijn, als men het
zesde getal door de som der cijfers deelt?
(Oorinchem 1883).
BINOMIAALFORMULE.
1. Herleid (a + 6)« — (a — 6)«.
2. Bepaal den vijfden term van {a-\-p)^\
3. „ „ vierden „ „ (a — 6)*®^
4. „ „ negenden „ „ (a? - ;^)".
34
5. Bepaal de twee middelste termen van (2a6 — 3cd)^®.'
6» Uit hoeveel termen bestaat de m^^ macht van het polyno-
mium a-\-b-\- c-\- d-\- . , . tot n termen.
{Ex. Wisk. Zeeland 1874).
7. Wat is de algemeene term van de ontwikkeling van
(a'\-h + c + d + ...y
als n het aantal termen van den veelterm is.
8. Wat is de coëfficiënt van den term, die a%cd bevat in de
ontwikkeling van {a-\-h -{- c-\- d)^.
9. Wat is de coëfficiënt van den term, die a%^cH^e^ bevat
in de ontwikkeling van {a -{- h -\- c -\- d -\- e)'^^.
10. Wat zijn de 2n-de en de middelste term der ontwikkeling
van (ia* — 26-V»P
KANSREKENING.
1. In een vaas zijn 24 kogeltjes waarvan 6 wit, 8 rood en
10 zwart. Men trekt er eerst 7 uit en daarna uit de
overblijvende 3. Hoe groot is de kans dat de eerste 7
allen zwart en de laatste 3 alle wit zullen zijn?
2. Hoe groot is de kans om, wanneer men met 3 dobbel-
steenen werpt, met twee daarvan, en niet meer, evenveel
oogen te werpen?
3. Hoe groot is de kans om, wanneer men met 4 dobbel-
steenen werpt, met 2 daarvan evenveel oogen te werpen
en met de andere twee aantallen , die daarvan en onderling
verschillen ?
4. Wanneer men met drie dobbelsteenen werpt, wat is dan
voordeeliger om te raden onder de 9 of boven de 12, en
hoe staan de kansen van winst tot elkander tusschen
dengenen, die laat werpen en hem die werpt?
METHODE DER ONBEPAALDE COËFFICIËNTEN.
1. Ontbind in 3 factoren van den tweeden graad aj® -- 1.
Evenzoo x^ -\~ \.
IJ
35
2. Ontbind in 2 factoren van den 2-den graad
ar* — ex^ — 3a? -f 2.
3. Evenzoo x* -{-x^ -{- af^-}- x-\- 1.
4. Ontbind in 2 factoren van den derden graad
x^ — 25iP* — öx» — I5u?'^ -h 4.
5. De som van twee breuken met onderling ondeelbare noe-
2 (113?+ 9)
mers is — r— . Zoek deze breuken.
3x^ + 2x — b
6. Splits de volgende 6 breuken in andere, wier noemers
van lageren graad zijn:
5a? + 4 . . a? + 4
a. — ■ :• b.
6 + a? — 2a?''* 2a? -f- oT — x
6a?^— 13jr*^+ lOa?— 1 , 2a?
C. :: : . d.
2a?'^ — 3a? + 1 l — a?»
x^ 8a?* — 8a?^+l
(l —x)^' ' x — 4x^+ 4x^'
7. Het verschil van 2 breuken met onderling ondeelbare
x+2
noemers is — ; — . Welke breuken zijn dat?
a?2 — 3ar + 2 -^
8. De som van 2 breuken met onderling ondeelbare noemers
3a? — 5
is -7 . Welke zijn die breuken?
a?2 — 6a? + 5 -^
9. De som van 2 breuken met onderling ondeelbare noemers
7a?— 10
a?» — 2 — 3a?
10. Welk verband moet er tusschen m, /> en g bestaan, opdat
4a?* — 4pa?^ + 42a?2 + 2;> (w + l)a? + (m+ 1)^
de tweedemacht zij van een veelterm, die geheel is ten
opzichte van a??
11. Ontbind de breuk — ;^ ; — - in drie andere, die
a? (a? — 1) (a? + 1)
achtereenvolgens a? , x — 1 en a? + 1 tot noemer hebben.
{Zwolle 1873).
3*
^"^ "1 7. IT* Welke breuken zijn dit ?
36
12. Ontbind in de eenvoudigste breuken het gebroken:
2 {bx^ — 8)
■ •
(Ex. Wisk, Groningen^ April 1867).
Splits in eenvoudiger breuken:
X 1
13. — 14.
x^ — 1 {x -- a){x — h) {x — c)
\—x^+2x . a?*^ — 4;r 4- 3
15. -zr-' 16.
(3 — xy {X -\-\){x— 2) {x + 3)
x+\ Ix+S
17. _ '. — -• 18. ^
x^ ipc'' + \f {x-\- \y (x^ + x^ 1)
od^ a;^ — a; + 1
19 . 20
• {x--af(x' + d') * [x- Vf{x+\f{x—2)
lx + bx^ x' + 3
21. , 7. ' 22. ^
(2a?'^ + 3)' (x^-\-\f[ic \)x'
23. Het verschil van twee breuken met onderling ondeelbare
X '\- 2
noemers is —z ; — . Welke breuken zijn ditP
[Utrecht April '75).
24. De som van twee breuken met onderling ondeelbare noe-
mers is -7— . Welke breuken zijn ditP [ld.)
a^ -f- 2 — 3a?
13a:+10V/ — 2 . ,
25. — IS net verschil van twee breuken
I5a;« — 31a:V/ — 2— 20
met onderling ondeelbare noemers. Zoek deze breuken.
[Zuid-Holland Oot. '74).
26. Splits in vier breuken den vorm
g _[_ g/p 9/p2
—. [Overijsel O et. '74).
X \X ~~~ 1 )
37
27. De som van j;wee breuken met onderling ondeelbare noe-
31a — 1
6a2 — ~5a^ 6
(Den Haag Oct '79).
Kf I I.* ^^ L
mers is — „ . Welke zijn die breuken?
GEMENGDE VRAAGSTUKKEN.
1. Onderzoek of de twee vergelijkingen
l . 1 2
a + c = 2o en - — | - = —
ode
ten gevolge hebben a : b = c : d.
2. Onderzoek of de twee vergelijkingen
x + y -]-u + V = 2
xy — wi? = 2 — 2 (w + 1?)
ten gevolge hebben de betrekking
x^'\-y^ = u^ + v^.
3. Bepaal de coëfficiënten a en 6 door de voorwaarde dat
ax + bx^ + cx^ de som der kwadraten van de eerste x ge-
heele getallen voorstelt.
4. Als a\b = c:d kan de vorm
{ab + cdf - [ab — cdy + 2a\^ + 262^»
herleid worden tot c^ (a^ + b^) : a^ Bewijs dit.
5. Kan [ab + crfj* + (ac + bd)^ — 4a6c(2 ontbonden worden in
reëele factoren?
6. Bewijs , dat de verhouding {la -\- mc-\- ne) : [Ib + md + nf)
gelijk is aan elk der verhoudingen a : 6 , c:d en e : ƒ , als
deze 3 onderling gelijk zijn , en dat ze tusschen de grootste
en de kleinste van deze drie gelegen is, als ze alle drie
ongelijk zijn. De letters stellen rekenkundige getallen voor.
7. Twee boden gaan van P en Q elkaar tegemoet. De eerste
vertrekt 2 uur vroeger dan de andere. Twee uur 5 min.
na 't vertrek van den tweeden ontmoeten zij elkaar en
komen dan tegelijk in P en Q aan. In hoeveel tijd heeft
dan ieder den weg afgelegd?
(Van een Verg. Exam. 1874),
38
8. Als a :c = c:d, dan kan (ac — d^)^ — (a* — cd)^ herleid
worden tot (a 4- c + d)* (a — c)* (a — d) : a. Bewijs dit.
9. Bewijs dat a^ + 6* + c^ — 1 gelijk is aan 2abc , als
c = ab + V{l— a^) V/ (1 — b%
10. In Engeland gebruikt men voor het schatten van den
inhoud van vaten de formule van Oüghtred
V = ^ttH (2Ra 4- y.8)
en in Frankrijk de formule van Dez
V = ttH [R ~ |(R - r)]\
Welke van deze twee formules geeft den grootsten inhoud?
11. Los het volgende stel vergelijkingen op
a?, + 2x.^ + SiTg 4- . . . + nxn = «i ,
X2+2x^ + Hx^+ ,,, + nx^ = «2,
^3 + 2ir^ + 3a?5 + . . . + nx^ = «3 ,
Xn + 2ir, 4" 3^2 + • • • + wa:„— 1 = a„.
12* Op te lossen de ongelijkheid:
{x^—bx-^^)(Vx-'2)
a:^ + 4a: + 3
>0.
hx — ay ex — az z -\^ y
13. Als ■■ = ; = — -r- zal elk van deze breuken
cy — az ky —■ ax x-\- z
X
gelijk zijn aan — . Leid hieruit verder af, dat óf a; = y ,
y
ot z = x -^-y.
14. Elimineer a, 6 en c uit de vergelijkingen
(Tr+ii-r+iyi
Qpm yin 2^
m
1,
a« + 6" 4- c* = d*.
15. Ontleend a;*+4 in twee reëele factoren.
16. Op te lossen de vergelijking
iy(a + a?) , l?^(a4-a:) V^
1 "^ "ïT"
a X o
39
17. Welke waarden van x voldoen te gelijk aan de volgende
twee ongelijkheden
x^ — 12a;2 + 32a? > O en x^ —\\x^\-\^x < 0.
Antwoord: tussclien l en 4 en tusschen 8 en 10.
18. Bewijs , dat 2{a — x)\x-^V (^^ + 6*')} < a^ + hK
19. Druk iF^ + ic""* uit in (functie van) a? + a;-~^
20. Ala a?* + 2wy* een vierkant is , is a?* + »ty* de som van
twee vierkanten. Bewijs dit.
21. De vergelijkingen
2 (aft ^rVi) = (« + *) (i> + 2) j 2 {ac + rs) = (a +c) (r +-s),
2(cd+i>2) = (c + d)(p + 2), 2(M + rs) = (6 + rf)(r+5),
hebben ten gevolge
2 (rs +;?2) = (^ + «) (P + 2)-
Bewijs dit.
22. Bepaal de coëfficiënten a, 6 en c door de voorwaarde, dat
ax^ + ^^^ + ca? de som voorstelt van de kwadraten der
eerste x geheele getallen.
23. Bewijs de volgende twee ongelijkheden
a + id — V a (a + d)< rf^ : 8a
^a — ^(a — a)< a : 3 ^ {a — a)«.
24. Als men in den veelterm
stelt a? = aX + a'Y, y = eX + 6'Y,
neemt deze veelterm den vorm AX^ + 2BXY + CY* aan.
_ , B« - 4AC
Bereken nu — rr
o* — 4ac
25. Herleid den vierkantswortel uit
3-V/3 + V/[2 + 2V'2XV/{3 + V'(V'2 — V" 12 +
V/ 18 - V 128)J].
26. Splits in vier brdoken den vorm
8 4> 8a? — 9a?«
ar (ar — 1)'
{Exam. Wisk. Zwolle 1874).
27. Trek den vierkantswortel uit 108 — V/1200+V/2000— V/60.
. Antwoord: ±:(10 — V'3+V/5). P. v. Schooten, 1632.
Zie N. Arch. III, 208.
40
28. Herleid "p/ (215 -f- 81 V 6).
29. Bewijs dat {x^ + 1)* — x tot nul nadert , als x tot oo
nadert.
30. Door welke geheele positieve waarden van a; en y kan
voldaan worden aan de vergelijking
apy — 10 + 2y = 2x^ + 3a?.
{Ex. Wisk. Zwolle^ April 1874).
31. Van welke rekenkundige reeks is de som der eerste
n termen altijd gelijk aan an^-]-bn?
32. Als ^ en 2 twee geheele positieve getallen aanwijzen ,
vraagt men voor a; = 1 de waarde te vinden van
pxP*9 — (p _|_ g> a^ -|, 2
33. Voor welke positieve geheele waarden van x en y wordt
bx^ + 23a:y -f- 8y'* een volkomen vierkant P
(Ex. Wisk. Noord-Holland^ 1880).
a; _ 2 + Tj/ (l — a: -|- a;^)
34. Bepaal de waarde, waartoe ^ na-
X — X
dert, als a» tot 1 nadert.
oR TT 1 -^ l4 + 20a;+16a;^ ^ ^ ^. u i
35. Herleid — ; ; tot eenvoudiffer breuken, zoo-
1 + 2a; - bx' — Qx^ ^ '
danig dat de som der breuken gelijk zij aan den opgegeven
vorm, dat de tellers uit geheele getallen en de noemers
uit bestaanbare eerste-machtsfactoren bestaan.
(Ex. Wisk. Zeeland, Oct. 1862).
36. Bewijs dat uit de betrekkingen
a^+€' + y^=\, aV + e'6" -f yV = O,
a''^ + r-^ 4- y'^ = 1 , aa' + 66' + ^y' = O ,
voortvloeien de volgende
a' + a'^ + a"^ = 1 , 67 + €'7' + €>Y = O,
gi^ g/2 + g//2^ 1 , «7 + aY + aV = O,
y' + 7'' + y"' = 1 , ae 4- a'e' + a'e' = O,
„2„/2^./2 _|_ g2g/2g./2 ^ -y2y 2^.'2 ^ ^2g2^2 _^ a'2g/2y 2 _j. ^''^''^j'^.
41
37. Herleid
^(10462^ — 37ö2iV7) en ^ {2^\ + h'^ V S).
38. De volgende vormen door het invoeren van nieuwe ver-
anderlijken homogeen te maken
X
X^ \ X
X* yx
h hxyz -\ •
xz xu
ay \/x + hy \/z^ + c \/x2^.
39. Hoeveel is de som der kuben van de getallen 11 tot en
met 100 P [Verg. Ex. te Ommen^ 1886).
Antwoord: 25499475.
40. Als een geheele veelterm in a?, waarvan de coëfficiën-
ten geheele getallen zijn, zoowel voor x = O als voor
a; = 1 twee oneven getallen oplevert, zal geen enkele
geheele waarde van x den veelterm nul kunnen maken.
Bewgs dit.
41. Onderzoek de juistheid der volgende indentiteiten
a+6+c-|-d=; ; : r4-
[a — h)[a — c)(a — d) (b - a)(b — c)(b — d)
a^b^
aö + ac + ad+bc + bd + cd = ' -—- -r — —
(a -'C){a^ d) (h '-c)(b'- d)
+
aV
(a — b)(a'- d) {c — b) (c — d)
o^dV
(a — b){a — c) {d — ö) {d — c)
enz.
abc + abd + acd + bed =
+
42
(a-
-d)(6-
-d)(c-
-d)
(«-
- c) (6 — c) (rf -
-c)
(«-
-i)(c-
-b)(d-
-b)
+
+
(6 ^ a) (c — a) (d — a)
Opmerking. Ik ontleen deze vormen aan het leerboek
der algebra van Roüché, waar ze echter ten onrechte vóór
de invoering der negatieve getallen voorkomen, aangezien
zoowel in den eersten als in den tweeden vorm naast
a — c ook c — a voorkomt , en van deze twee getallen
moet 1 negatief zijn.
42. Als men in den veelterm
ax^ + a'y^ + a"^?* + 2byz + 2Vxz + Wxy ,
stelt ir = aX + aT + a'^Z ,
neemt die veelterm den vorm
AX» + AT» + A''Z« -f 2BYZ + 2B'XZ + 2B''XY
aan. Bereken nu de uitdrukking
AA^A^^ + 2BB^B^^ ~ AB" — A^B^« — A^^B^^'
add' + ibb'b" - aft* - dh'^ - a^W^
43. Herleid i^{^2 + 30 \/3) tot den vorm (a + « V^c) ^d.
PRIJSVRAGEN.
Te Clif ton- College is het de gewoonte, dat de directeur der
inrichting eens in eiken cursus een prijsvraag uitschrijft. Soms
hebben die vragen betrekking op werktuigkunde of toepassingen
der electriciteit , soms op wiskundige zaken , die meer vinding-
rijkheid dan kennis vereischen. Een der vragen in vorige
jaren opgegeven was b.v. deze: als al de zijden en diagonalen
43
van een regelmatigen tienhoek onbepaald verlengd worden
ontstaan er 10000 driehoeken.
De laatste prijsvraag luidt aldus:
Als men een landkaart kleurt , waarin de districten of andere
onderdeelen door kleuren worden aangewezen , wordt natuurlijk
vereischt , dat geen twee aangrenzende districten dezelfde kleur
krijgen en door het te beproeven vindt men dat 4 kleuren
altijd voldoende zijn , wat ook de vorm of het aantal der dis-
tricten moge wezen. Waarom vier? zou hetzelfde waar zijn,
als de districten een bol moesten bedekken?
Een oplossing mag niet meer dan 30 regels of 1 bladzijde
schrift bevatten en 1 bladzijde met figuren.
VRAAGSTUKKEN OPGEGEVEN BIJ DE EXAMENS
VOOR DE AKTE K\
1864.
1. Verklaar, hoe de log. van een getal tusschen 1 en 10,
bij benadering gevonden kan worden door toepassing der
vooraf te bewijzen stelling ^ log. nb = log. V" « + log. V ^-
2. Herleid V (a + b\/-^ l) tot den vorm A + BV—l en
pas die herleiding toe om ^ — l tot dien vorm te brengen.
3. Zoek eene formule voor de som der termen eener rekenk.
reeks van hoogere orde en pas die formule toe, om de
som te vinden van de kuben van de rij der natuurlijke ge-
tallen van 1 tot /t.
1866.
1 . Eene der benaderingsmethoden ter bepaling van de onmeet-
bare wortels eener hoogere machtsvergelijking te verklaren
en toe te passen op de bepaling tot in 5 decimalen nauw-
keurig, van den positieven wortel der vergelijking
2a?* + Sar» — 5a? — 12 = 0.
2. Ontbind in de meest eenvoudige rationale gebrokens
20a?8+13a?2— 6a? +7
I uil ■■»-■ ^m^mm^ . « — ■■ ■■■■■■ ■■, , i i ■ ■ ^, « .i ■ «
4a?* + 4a?8 + a?« - 6a? + 2
3. Voor welke waarden van a? zal de reeks
1 — 2a;* + 3a?* — 4a?® -4- 5a?® — enz.
convergeeren , en waarop berust de beoordeeling.
3a. Te onderzoeken of de reeks
12 3
convergeert of divergeert.
45
4. Van een derdemachtsverg. x^ -\-px^-\- qx -\-r = zijn de
wortels a, è en c. Van welke verg. zijn de wortels aft,
bc en ca?
5. De waarde van x te vinden uit
X = 1^(1284^ — 0,386 -3,3345)
6. De vergelijking 4a:* — Sx^ + 9a;^ — 5a: -j- 1 = O te onder-
zoeken met het oog op het al of niet bestaan van meet-
bare, gelijke en onbestaanbare wortels. Welke zijn die
meetbare en gelijke wortels? (2 wortels a: = i; de andere
wortels zijn ^ dz ^ V/ — 3).
7. De waarde van x te berekenen uit
0,S7»
l,SB3 — 0,5880
^x = V (7,8296 — y/ 0,06321).
8. Welk getal heeft, als het door 28 gedeeld wordt , tot rest
20; door 19 gedeeld tot rest 12; door 15 gedeeld tot
rest 10?
9. De thermometer Fahrenheit staat op zekeren dag 's na-
middags 12 uren op 75"^, om 2 uren op 78°, om vier
uren op 74° en om 6 uren op 68*^. Hieruit af te leiden
den waarschijnlijken stand om half drie op dien dag en
de daartoe noodige formule te bewijzen.
Antwoord: 77jW graad.
10. Twee spoortreinen rijden elkaar te gemoet. A met een
snelheid van 50, B met een van 60 kilometer per uur.
Zij verlaten elk hun station op den waren middag. Verschil
15°. Lengte van den weg langs de parallel 1400 kilo-
meter. A heeft twee halten k 10 minuten. De ware tijd
van de plaats waar zij elkaar ontmoeten? A westwaarts van B.
11. Den inhoud te vinden van den kleinsten kegel, die om een
bol kan beschreven worden.
12. Als men van een 3de machtsvergelijking de afgeleide
vormt, en de wortels van deze in de eerste substitueert,
krijgen beide uitkomsten hetzelfde teeken. Aantoonen dat
twee wortels onbestaanbaar zijn.
46
1808.
1. Drie lichamen A, B en C bevinden zich in een hoekpunt
van een vierkant, waarvan de zijde 10 duim is. Ze bewegen
zich in dezelfde richting met de snelheden 5 , 6 en 7.
Wanneer zullen voor de eerste maal tegelijkertijd A in het
2de, B in het 3de en C in het 4de hoekpunt zijn?
2. Van eene derdemachtsvergelijking x^ -^px^ -\- qx-^r= O
zgn de wortels a, 6 en c. Van welke vergelijking zijn de
wortels abj bc en ac?
r875. .
1. Bepaal zonder gebruik te maken van afgeleide functies,
welke waarde men aan x moet geven, opdat a;^-|-(6 — x)^
zoo klein mogelijk zij.
Antwoord: 3.
2. Onderzoek door toepassing van het theorema van Sturm
tusschen welke geheele getallen de reëele wortels liggen
van de vergelijking
x^— 10a;^+6a?-f 1 =0.
Antwoord: 1 tusschen O en 1
1 „ 3 en 4
2 . O en — 1
1?
1 jf — 3 en — 4.
3. Benader in 6 decimalen den kleinsten positieven wortel der
vergelijking
x^—4x^ + x-\-é = 0.
Antwoord: 1,237729.
4. Onderzoek de convergentie der binomiaalreeks, ook voor
x= l.
De tijd was voor 2 en 4 samen 3 uur.
5. Bereken de waarde van a;, als
^ — ^ tg ^ = 0,2.
47
6. Bepaal den w-den term der wederkeerende reeks , die ont-
staat door ontwikkeling der breuk
8x^ — 5u? 4- 1
1 — Sx + 2lx^— ISa?'
Tijd: 1 uur.
7. Sommeer de wederkeerende reeks
1 — X -{- x^ — ix^ + \^x^ — yx^ + 40^0 — 3J7a?' enz.
8. Bepaal den n-den term en de grenzen voor de conver-
genl;ie van de wederkeerende reeks, die ontstaat bij ont-
wikkeling der breuk
1
(1 —x){\ — VO(l —x^'
9. Bepaal de limiet, waartoe
tg(a + S)-tg(a-S)
bg.tg(a + 8)-bg.tg(a-S)
nadert, als S tot nul nadert.
l+a«
Antwoord :
COS. ^a
(2x \**
I in een reeks, die opklimt volgens de
1 +
machten van i^ •
1 +0?
Tijd: drie kwartier.
11. Als een derdemachtsvergelijking met reëele meetbare coëf-
ficiënten geen meetbaren wortel bezit, bezit zij ook geen
gelijke wortels. Bewijs dit en onderzoek of die eigenschap
doorgaat voor vierde- en vijfdemachtsvergelijkingen.
1876.
1. Voor welke meetbare waarden van x wordt 9x'^ — 5ic + 7
een volkomen vierkant?
Antwoord : — 6 , | , y\ , enz.
2. Benader de reëele wortels der vergelijking x^ — 4x^ -\-x-{'
4 = O in zes decimalen.
Antwoord: 1,237729 en 8,863658.
i
48
3. Bepaal een meetkundige reeks van vier termen, waarvan
de som der middelste termen 24 en de som der kwadraten
van de uiterste termen 2920 is.
Antwoord: 2, 6, 18, 54.
4. Bepaal alle wortels der vergelijking
a;0 _ 7^ ^ 15a;* — 40a:'^ -}- 48a: —16 = 0.
Antwoord ; f (x) = (x — 2)* (x^ -\-x — 1).
6. Benader in vijf decimalen den grootsten wortel der ver-
gelijking
x^ + 2ar^ + 'ój:^ + 4x' + bx^ + 6a; = 654321.
Antwoord: 8,95698.
6. Tusschen welke grenzen "kan de breuk
a;2+14a;+9
x^-\- 4x-\-S
veranderen voor reëele* waarden van ir.
7. Onderzoek of de reeks
I a\P ^ l a\p , l a\P ^
convergent is.
Antwoord: convergent voor p>0, divergent voor 2> =
en < 0.
8. Evenzoo
sin. a 2 sin. 2a 3 sin. 3a 4 sin. 4a
Antwoord: div.
9. Bepaal alle wortels der vergelijking
a?*— 10a?''+15a?— 6 = 0.
Antwoord : 3 wortels 1 en de 2 wortels van ar2 -|- 3a? +
6 = 0.
10. De vergelijking
333a:3_ i744a.4-f I648a;3 -f 333a;2+ 920a;— 1548 =
heeft tusschen 1 en 2 twee wortels , die weinig verschillen.
Benader die wortels in 6 decimalen.
Antwoord: 1,237236 en 1,237729.
11. Bepaal door middel van het theorema ^an Sturm tusschen
49
welke 2 opeenvolgende geheele getallen elk der wortels
van de vergelijking
x^ — 2x^ — 7x^+ lOo; + 10 = O
gelegen is.
Antwoord : — 2 en — 3
— 1 en O
2 en 3 (2 wortels).
12. Evenzoo
23?* — 13a;2 4-lOa; — 10 = 0.
Antwoord : Tusschen 2 en 3 , tusschen ~ 3 en — 4.
1877.
Tijd: 2 uren.
1. De waarden van o; en ^ te bepalen, die voldoen aan
a;3-3ya?« + (3ya-y+l)a: — y3 + y'*-2y =
en x^ — 2xt/ + y* — y = 0.
2. Bepaal de convergentie of divergentie en zoo mogelijk de
som van n termen der reeks
1 , 1 j 1. 1 .
-|_ 1 1 ^ enz.
3X7 5X9 7X 11 9X13
3. Van een rekenkundige reeks van de derde orde is de
eerste term a , de tweede 6, de zevende c en de som van
de eerste 12 termen d. Worden de termen van eerstge-
noemde reeks achtereenvolgens vermenigvuldigd met 1 ,
o;, x'^^ x^ , dan vraagt men de voortbrengende
breuk te bepalen van de verkregen wederkeerende reeks.
Tijd: 2 uren,
1. Los o; en y op uit
- oj» + 1 + x^y — y' + 7ya - 7y = O
en — a;'-* — l + x^y -{-y^ — y^ -^ ijn -\- ixy = 0.
2. Van een rekenk. reeks van hoogere orde is de algemeene
term x^ — 4x^ -|- 6a? — 8.
Men wil tusschen elk paar termen dezer reeks 2 andere
interpoleeren en vraagt dan de som van x termen der ver-
kregen reeks.
4 "'
50
3. Onderzoek de convergentie of divergentie der reeks
_| — 1 — — ^ -j- enz.
1879.
Bepaal tot in 2 decim. de wortels van
x^ + 2x^ + 3a;^ + x+ 2 = 0.
Onderzoek conv. en somm. van de reeks
r
«=i nl
1880.
1. Met behulp der stelling voor Moivre den vorm x^-{- 1 te
ontbinden in bestaanbare factoren van den tweeden graad.
2. Den middelsten term te verdrijven uit
X* + 2x^ — V2x^ + 6a; — 4 = 0.
3. Voor welke waarden van x wordt de uitdrukking
a^ {a — x)^
(a — x){b — x)
reëel, positief, negatief, nul en oneindig groot P
4. Bepaal door een rechtstreeksche oplossing de wortels van
x^ — 22a;'^ — 48^ — 23 = 0.
Antwoord : V/2 + V/3 + V/6
\/2 — V/3 + V/6
— V2 + VS + V Q
— V 2 — V/3 + V/6
9/J.3 3/j. _L. 3
5. Splits de breuk ; — in andere , wier noemer
^ x^ — x^^x-\-\ '
van lageren graad is.
6. Onderzoek door middel van het theorema van Sturm de
ligging der wortels van de vergelijking
2ic* — 13a:^ + 10a; — 19 = 0.
7. De wortels te bepalen van de vergelijking
a;"*— lla;*+17a;3+ \1x^ — lla;+l=0.
51
8. De som te bepalen van de reeks
a sin 01 + (^ sin 2w + ^^ sin 3cJ + öt* sin 4w +
9. Onderzoek de convergentie der reeks
a a(a+l) a(a+1)(a + 2)
— enz.
h '6(6 + 1) * (6 + 1) (6 + 2)'
Antwoord : Men vindt na = b — a.
10. Ontwikkel sin x volgens opklimmende machten van tg x en
onderzoek de convergentie der reeks.
11. Van de vergelijking x^ + Sx^ + 7a; — a = O zijn twee der
wortels — b ±\/ — b. Bepaal de waarden van a en b.
12. De wortels op te sporen van
x'^ + 5a?ö + 6a:' — 6a?* — 15a;' — Sx^ + 8a; + 4 = 0.
Antwoord : Men vindt (x + 1)' (x — 1)^ {x + 2)* = 0.
^ , , lla;2— 17a; + 2 ., , , .
13. De breuk — ; te ontwikkelen in reeksen ge-
2a;3 — 3a;*-^ — 2a; + 3 ®
ordend naar de opklimmende en naar de afdalende mach-
ten van X met bepaling der grenzen van convergentie.
14. Den aard der wortels te bepalen van de vergelijking
13a;* — öOar' + 7bx^ _ 62a; + 25 = O
en een der reële wortels te benaderen in 4 decimalen
nauwkeurig.
15. Uit een bol te snijden een bolschijf, wier inhoud de helft
is van dien des bols , door twee vlakken , waarvan het
eene tweemaal zoo ver als het andere van het middelpunt
verwijderd is.
1884.
1. Voor welke waarden van x is de som der kwadraten
(ax-^b)^ en (cx-\-d)^ een minimum P
2. Van een rekenkundige reeks van hoogere orde is de som
van X termen
2a? + 3ar^ — 4a;^ + xK
Bepaal de formule voor den algemeenen term dier reeks.
3. Bereken a; en y uit de vergelijkingen
a?^ + y3 _ 35 xy = ^.
52
4. Benader in 6 decimalen een wortel der vergelgking
a:*-^6a;* — 10a;'— 112ar» — 207a?= 110.
1. Ontbind den veelterm
x^ — 2s^ + Bx^— 7x^ + 8a? — 3
in meetbare factoren.
2. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 5 voorwerpen
verdeeld worden in 2 groepen,
3. Op te lossen de vergelijkingen
x^ + y^ = a^ en a;V = ^*-
7a; — 3
4. Splits de bremk -^ TT ^^ andere, wier noemers
X — ox -f- a? + 5
van legeren graad zijn.
1886.
1. Onderzoek, door middel van het theorema van Sturm,
hoeveel reêele wortels de vergelijking
aj* — 8a?' + 20a;* — 18Ja; + 5^ =0
heeft en waar die wortels liggen.
2. De drie zijden van een driehoek zijn de wortels van de
vergelijking
a?' — 36a?' +41 3a;— 1530 =
Van welke vergelijking zijn de wortels de hoógtelijnen van
denzelfden driehoek?
3. Bepaal door de rechtstreeksche oplossing de wortels van
de vergelijking
a?* — 2a?' - 8a?'+ 12a; — 4 = 0.
Antwoord : 2 dz \/ 2 en — 1 ±: \/ 3.
4. Sommeer de wederkeerende reeks
1 + 3a? + 8a?' + 21a;' + 55a?* -f 144a?* +
/2a?-|-l\«
5. Ontwikkel! — ; — I in een reeks, die opklimt volgens
\ x-f- 1 /
machten van' ; — •
2a; +1
53
6. Splits in meer eenvoudige breuken
4a;^ — 5a? + 2
3
a;^ — a;* — a;* -|- a?'
Antwoord: — \-— — +
x^ x^ X ' 2(a?— 1)^ 4(a; — 1)
4 (x + 1)
7. Benader de positieve wortels van de vergelijking
a:* 4- 4a?^ — 4aJ^ — 1 la? 4- 4 = O
in 6 decimalen nauwkeurig.
Antwoord: 1,636914 en
8. Bepaal al de wortels van de vergelijking
4a?ö — 24a:' + 57a?* — 73a?^ + 57a?^ — 24a? + 4 = 0.
9. Bepaal de maximum- en minimumwaarden van de breuk
x^^éx+3
als a? reëel moet zijn.
INHOUD.
.k.
Blz.
YlERKANTSYEBOELUKIirGEN 3.
Hoogere-machtsvergelijkingen van den tweedemachtsvorm . . .10.
Vergelijkingen, waarin de onbekende onder een wortelteeken
voorkomt 12.
Eigenschappen van den drieterm 13.
Grootste en kleinste waarden 14.
cokplexe getallen 17.
kvnstgbepen 21.
Onbepaalde veboelijeingen van den eersten graad 28.
Onbepaalde vergelijkingen van den tweeden graad . . . .30.
Yerschikkingen en verbindingen 32.
Binomiaalformule .33.
Kansrekening 34.
Methode der onbepaalde coëfficiënten 34.
Gemengde vraagstukken 37.
Prijsvragen 42.
Yraagstveken opgegeven bu de examens voor de akte k^ . . 44.
UITGAVEN VAN W. VERSLUY8 TE AMSTERDAM.
I
/
Vijfde verzameling Reitenicundige Vraagstukicen ,
DOOB
J. VERSLUY8.
lEBKf AABDIGE FUMTM M lUM
in deD vlakken driehoek ,
DOOR
A.. jr. -VJLN B R B K JN^.
/ 0,60.
ALGEBRAÏSCHE VRAAGSTUKKEN ,
DOOR
J. VERSLUYS.
Eerste stukje, Vijfde druk / 0,50.
Tweede „ Vijfde „ - 0,60.
Derde „ Vierde „ - 0,50.
Van deze vraagstukken zijn de antwoorden niet in den handel.
ALGEBRAÏSCHE OEFENINGEN,
DOOR
J. VERSLUYS.
Eerste schooljaar / 0,50.
Tweede „ - 0,50.
Derde „ - o>5o.
Deze vraagstukken onderscheiden zich van de voorgaande reeks,
door het opnemen van meer samengestelde vormen, door een ruimer
gebruik van letters als exponenten en doordat de antwoorden er van
in den handel zijn.
ALGEBRAÏSCHE VRAAGSTUKKEN
voor eenigszins gevorderde of oudere leerlingen,
DOOR
J. Versluys.
Eerste stukje / 0,75.
UITGAVEN VAN "W. VERSLUYS TE AMSTERDAM.
NATUURKUNDE VAN DEN MENSCH.
VRIJ BEWERKT NAAR DE LAATSTE UITGAVE VAN
Prof. Thomas H. Hoxlej's „Lessons in Elementarj Phjsiolog;"
DOOB
Dr. R. SINIA,
Direotmr der Hoogere Burgereehool ie BrielU,
Prijs / 3,00.
De bewerker van Httxlbt's Lessons deelt ons in zijne roerrede mede ,
dat dit boek in de eerste plaats bestemd is voor allen, die zich voor-
bereiden tot een examen , waarbij kennis van 't menschelijk lichaam
gevorderd wordt , in de tweede plaats meent hij , dat allen , die 't
,,ken n zelven" in physieken zin wenschen te behartigen , het met vrucht
zullen kunnen gebruiken, en ik van mijne zijde kan daaraan toevoegen,
dut ik deze meening met den bewerker deel en hem van harte geluk
wensch met zijn wel volbrachten arbeid. Op 320 bladzijden wordt ons,
opgehelderd door talrijke figuren , een degelijke beschrijving gegeven van
de verschillende organen van ons lichaam. Achtereenvolgens komen,
na een algemeen overzicht van den bouw en de levensverrichtingen
van 't menschelijk lichaam gegeven te hebben , het vaatstelsel , de
bloedsomloop , het bloed , de lymphe , de ademhaling , de voeding , de
beweging, de gewaarwordingen en zintuigen, het zenuwstelsel in be-
handeling , terwijl deze behandeling uitmunt door groote duidelijkheid ,
vooral omdat de schrijver naast den algemeen gebruikelijken weten-
schappelijken naam steeds zooveel mogelijk goed Nederlandsche woorden
gebruikt , iets dat door mannen van 't vak doorgaans over 't hoofd wordt
gezien , zoodat een verslag van een geneesheer over een belangrijk ge-
zwel , een prachtige operatie of een ingewikkeld ziekteverschijnsel wel
iets heeft van eene verhandeling opgesteld in de eerste dagen na de
Babylonische spraakverwarring.
Ook de stijl laat weinig of niets te wenschen over, hier en daar
ontmoet men eene uitdrukking die beter had kunnen zijn, maar deze
minder gelukkig geslaaigde volzinnen zijn hoogst zeldzaam.
Mogen schrijver en uitgever in een ruim debiet vergoeding vinden
en voldoening smaken voor de moeiten en kosten , die zij zich getroost
hebben om dit meesterstuk van den groeten Huxlet in een goed JN'eder-
landsch kleed 't publiek aan te bieden !
Yan ganscher harte aanbevolen !
{Vooruit van 6 Juni '86). G. A. V. V. O.
f
i!iiiii7ii III i;iiiiijii:iiiii:iiiiiiMiiiiiiiiiiiJ:iiiii 111:111 Jiiii:iiiiiiiiiriiiiiiiiuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!iiiiiiliiililii:iiliiiiil>iilil'iiiiiinjiiiiiii
MMil
ill
VOOR
i eenigszins gCYorderden of oudere leerlingen,
VERZAMELD
DOOR
J. YERSLUYS.
TWEEDE STUKJE.
,^ V. V/^ \^ '- V-' ■«_ \ \ » "v V V ' V ^V • ~v • \y Nw/V-'Xy \ ~*./X/Nw N. /"V /'N_/~V/ Xy '
AMSTERDAM. — 1887. — W. VERSLUYS.
^^lllilll:lllllllilJl^JJll1 iJiiiii.iJii jjii j IJ I J j iJii iiiiiii:i:i;iiiiiii:iiijiiiijiiii:iiijj>iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiliiiiiiiiiiii^
\
\
/.
NieDwe uitgaven van ïï. VEIiSLL'ÏS, te ADisterdam.
Het Oplossen yan Algebraïsche Vraagstukken , door
J. Verslüys f 2,00.
In dit boek . dat 1 2 vel druks , groot 8° bevat , worden
een groot aantal algebraïsche vraagstukken opgelost. De
noodige besprekingen der vraagstukken zijn daarbij niet ver-
geten. — Het boek Ls vooral bestemd voor hen , die alleen
studeeren. En vj.or hen die onderwijs geven in de algebra,
is het een groot gemak.
Gemengde Algebraïsche Vraagstukken , door J.
Vkrsluys f 0,50.
Dit boekje is bestemd voor hen, die een gewone verza-
meling hebben doorgewerkt en behoefte hebben aan meer
repetitie.
Leerboek der Algebra , door J. Verslüys. Derde deel ,
ten dienste van onderwijzers en meergevorderden.
Derde druk f 2,00.
Beginselen der Analytische Meetkunde^ door J.
Verslüys f 2,25.
Boldriehoeksmeting, door J. Verslüys, Tweede
druk f 1?25.